《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

(1)如图1,在四边形ABCD中,AB = AD,∠BAD = 120°,∠B = ∠ADC = 90°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF = 60°,探究图中线段BE,EF,DF之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG = BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论.他的结论应是EF=BE+DF.

答案： EF=BE+DF.

(2)如图2,在四边形ABCD中,AB = AD,∠B + ∠D = 180°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD,上述结论是否仍然成立?请说明理由.

答案：
EF=BE+DF仍然成立.理由如下:
如图1,按照小王同学探究此问题的方法，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG.
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADC+∠ADG=180°,
∴∠B=∠ADG.
在△ABE和△ADG中,
∵BE=DG,∠B=∠ADG,AB=AD,
∴△ABE≌△ADG(第一次证两三角形全等)(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG.
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD - ∠EAF=∠EAF.
在△AEF和△AGF中,
∵AE=AG,∠EAF=∠GAF,AF=AF,
∴△AEF≌△AGF(第二次证两三角形全等)(SAS),
∴EF=GF.
∵FG=DG+DF=BE+DF,
∴EF=BE+DF.

(3)如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°方向的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°方向的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度、舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/时的速度前进1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离.

答案： 如图2,连接EF,延长AE,BF相交于点C.
∵∠AOB=30°+90°+(90° - 70°)=140°,∠EOF=70°,
∴∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOB.
又
∵OA=OB,∠OAC+∠OBC=(90° - 30°)+(70°+50°)=180°,
∴符合探索延伸中的条件,
∴结论EF=AE+BF成立,
∴EF=1.5×(60+80)=210(海里),
∴此时两舰艇之间的距离是210海里.