《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

已知实数$\sqrt{2}$,$\dfrac{9}{2}$,$2.3232232223…$(每相邻两个$3之间依次增加一个2$),$1$,$-\pi$,$\sqrt[3]{-64}$,$16$,$0$,$\sqrt{13}$。
【基础设问】
(1)上述实数中,是无理数的是$\sqrt{2}$,$-\pi$,$2.3232232223…$(每相邻两个3之间依次增加一个2),$\sqrt{13}$,是有理数的是$\dfrac{9}{2}$,$1$,$\sqrt[3]{-64}$,$16$,$0$。
(2)将上述实数按从小到大的顺序排列,并用“$＜$”号连接起来。
$\sqrt[3]{-64}＜-\pi＜0＜1＜\sqrt{2}＜2.3232232223\cdots$(每相邻两个3之间依次增加一个2)$＜\sqrt{13}＜\frac{9}{2}＜16$
(3)计算：$|\sqrt[3]{-64}+\pi|-|\sqrt{2}-1|-(\dfrac{9}{2}-\sqrt{2}-\pi)$。
$|\sqrt[3]{-64}+\pi|-|\sqrt{2}-1|-(\frac{9}{2}-\sqrt{2}-\pi)$
$=|-4+\pi|-(\sqrt{2}-1)-\frac{9}{2}+\sqrt{2}+\pi$
$=4-\pi-\sqrt{2}+1-\frac{9}{2}+\sqrt{2}+\pi=\frac{1}{2}$
【能力设问】
(4)若两个连续的整数$a$,$b$满足$a＜\sqrt{13}＜b$,则$a + b + 2$的平方根是$\pm3$。

答案：
(1)$\sqrt{2}$,$-\pi$,$2.3232232223\cdots$(每相邻两个3之间依次增加一个2),$\sqrt{13}$,$\frac{9}{2}$,$1$,$\sqrt[3]{-64}$,$16$,$0$
(2)$\sqrt[3]{-64}＜-\pi＜0＜1＜\sqrt{2}＜2.3232232223\cdots$(每相邻两个3之间依次增加一个2)$＜\sqrt{13}＜\frac{9}{2}＜16$.
(3)$|\sqrt[3]{-64}+\pi|-|\sqrt{2}-1|-(\frac{9}{2}-\sqrt{2}-\pi)$
$=|-4+\pi|-(\sqrt{2}-1)-\frac{9}{2}+\sqrt{2}+\pi$
$=4-\pi-\sqrt{2}+1-\frac{9}{2}+\sqrt{2}+\pi=\frac{1}{2}$.
(4)$\pm3$
$\because9＜13＜16$,$\therefore3＜\sqrt{13}＜4$,$\therefore a=3$,$b=4$,$\therefore a+b+2=9$.
$\because3^2=9$,$(-3)^2=9$,$\therefore a+b+2$的平方根是$\pm3$.

1 [2024 自贡中考]在$0$,$-2$,$-\sqrt{3}$,$\pi$四个数中,最大的数是(C)
A.$-2$
B.$0$
C.$\pi$
D.$-\sqrt{3}$

答案： C

2 [2024 烟台中考]下列实数中的无理数是(C)
A.$\dfrac{2}{3}$
B.$3.14$
C.$\sqrt{15}$
D.$\sqrt[3]{64}$

答案： C $\frac{2}{3}$,$3.14$是有理数,$\sqrt{15}$是无理数.$\because\sqrt[3]{64}=4$,$\therefore\sqrt[3]{64}$是有理数.

3 [2023 威海中考]面积为$9$的正方形,其边长等于(B)
A.$9$的平方根
B.$9$的算术平方根
C.$9$的立方根
D.$\sqrt{9}$的算术平方根

答案： B

4 [2024 北京中考]实数$a$,$b$在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是(C)

A.$b＞-1$
B.$|b|＞2$
C.$a + b＞0$
D.$ab＞0$

答案： C 根据题中数轴可得$-2＜b＜-1$,$2＜a＜3$,$\therefore|b|＜2$,$a+b＞0$,$ab＜0$.

(5)[教材 P14 探索变式]通过学习本章教材阅读材料中的“$\sqrt{5}$的算法”这部分内容,小李受到启发,利用正方形探究了$\sqrt{2}$的近似值。具体过程如下：已知面积为$2的正方形的边长是\sqrt{2}$,且$\sqrt{2}＞1$。设$\sqrt{2}= 1 + x$,画出如图所示的正方形,则$x^{2}+2x + 1 = 2$。当$x$足够小时,可以忽略$x^{2}$的值,得$2x + 1 = 2$,解得$x = 0.5$,即$\sqrt{2}\approx1.5$。
已知$2＜\sqrt{7}＜3$,设$\sqrt{7}= 2 + y$,类比上述方法,探究$\sqrt{7}$的近似值。(画出示意图,标明数据,并写出求解过程)

答案：
已知$\sqrt{7}=2+y$,画出如图所示的正方形,
则$y^2+4y+4=7$.
当$y$足够小时,可以忽略$y^2$的值,
得$4y+4=7$,解得$y=\frac{3}{4}$,即$\sqrt{7}\approx2.75$.

5 [新趋势·结论开放][2024 赤峰中考]请写出一个比$\sqrt{5}$小的整数：-5。

答案： -5(答案不唯一) $\because2＜\sqrt{5}＜3$,$\therefore$所有不大于2的整数都可以.

6 [2024 成都中考]若$m$,$n$为实数,且$(m + 4)^{2}+\sqrt{n - 5}= 0$,则$(m + n)^{2}$的值为1。

答案： 1 $\because(m+4)^2+\sqrt{n-5}=0$,$\therefore m+4=0$,$n-5=0$(平方式和算术平方根的非负性),解得$m=-4$,$n=5$,$\therefore(m+n)^2=(-4+5)^2=1$.

7 [新趋势·数学文化][2024 安徽中考]我国古代数学家张衡将圆周率取值为$\sqrt{10}$,祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为$\dfrac{22}{7}$。比较大小：$\sqrt{10}$＞$\dfrac{22}{7}$。(填“$＞$”或“$＜$”)

答案： ＞ $\because(\frac{22}{7})^2=\frac{484}{49}$,$(\sqrt{10})^2=10=\frac{490}{49}$,而$\frac{490}{49}＞\frac{484}{49}$,$\therefore(\sqrt{10})^2＞(\frac{22}{7})^2$,$\therefore\sqrt{10}＞\frac{22}{7}$.

8 [2023 衡阳中考]计算：$|-3|+\sqrt{4}+(-2)×1$。

答案： 解:$|-3|+\sqrt{4}+(-2)×1=3+2-2=3$.