《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

7 [新考法][2025成都天府新区师一学校开学考试]小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼,如图,已知电梯的长、宽、高分别是1m,1m,2m,则电梯内能放入木条的最大长度是( )

A.2m
B.2.4m
C.3m
D.2.5m

答案：
B 如图,连接AB,AC,根据勾股定理,得AB²=1²+1²=2,AC²=AB²+BC²=2+4=6,故AC=√6≈2.4 m.

8 [教材P140复习题T4变式]如图,某教室内部墙面MN上有处破损(看作点A),现维修师傅需借助梯子DE完成维修工作.已知梯子的长度为5m,将其斜靠在墙上,测得梯子底部E离墙角N处3m,维修师傅爬到梯子顶部使用仪器测量,此时梯子顶部D与墙面破损处的距离为1m.
(1)该教室墙面破损处A距离地面有多高？
(2)若维修师傅要使梯子顶部到地面的距离为4.8m,则梯子底部需要向墙角方向移动多少米？

答案：
(1)由题意,得AD=1 m,∠DNE=90°,DE=5 m,NE=3 m,
∴DN=√(DE² - NE²)=√(5² - 3²)=4(m),
∴AN=AD+DN=1+4=5(m).
∴该教室墙面破损处A距离地面5 m.
(2)当梯子顶部到地面的距离为4.8 m时，梯子底部与墙角的距离为√(5² - 4.8²)=1.4(m),则梯子底部需要向墙角方向移动的距离为3 - 1.4=1.6(m).

9 在一次军事演习中,红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路400m处侦察,发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶.他用红外测距仪测得汽车与他相距400m,过了10s,测得汽车与他相距500m.你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10s的平均速度吗？

答案：
解:根据题意画出下图，其中点A表示王叔叔所在位置，点C,点B表示两个时刻蓝方汽车的位置.由于王叔叔距离公路400 m,因此∠C是直角.由勾股定理,可得AB²=BC²+AC²,即500²=BC²+400²,
∴BC=300.蓝方汽车10 s行驶了300 m,那么它1 s行驶的距离为300÷10=30(m),
∴蓝方汽车这10 s的平均速度为30 m/s.

10 [推理能力][2025南阳实验学校月考]将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的图形,其中四边形ABED和四边形CFGH都是正方形.
(1)请利用图1推导勾股定理.
已知：在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,BC= a,AC= b,AB= c. 求证：$a^2 + b^2 = c^2.$
(2)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度,得到如图2所示的“数学风车”.若a= 12,b= 9,“数学风车”外围轮廓(图中实线部分)的总长为108,求该风车的面积.

答案：
(1)证明:由题图1可知$,S_{正方形ABED}=4S_{△ABC}+S_{正方形CFGH}.$
∵$S_{正方形ABED}=c²,S_{△ABC}=1/2ab,$正方形CFGH的边长为a - b,
∴c²=4×1/2ab+(a - b)²=2ab+a² - 2ab+b²=a²+b²,即a²+b²=c².
(2)解:
∵“数学风车”外围轮廓的总长为108,
∴AM+BM=108÷4=27.设AM=x,
∵BC²+CM²=BM²,
∴a²+(b+x)²=(27 - x)².将a=12,b=9代入,得144+(9+x)²=(27 - x)²,解得x=7.
∵小正方形的边长为a - b=12 - 9=3,
∴该风车的面积为1/2×12×(7+9)×4+3×3=393.