《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

1 [2025泉州期末]“若$a^{2}\neq b^{2}$,则$a\neq b$.”用反证法证明这个结论时,应先假设 (B)
A.$a^{2}= b^{2}$
B.$a = b$
C.$a = -b$
D.$a\neq b$

答案： B 反证法的步骤中,第一步是假设结论不成立,结论的反面成立,a≠b的反面是a=b,
∴应先假设a=b.

2 [2025福州十九中模拟]我们用反证法证明命题“三角形中不能有两个直角”时,应先假设(B)
A.三角形中有一个内角是直角
B.三角形中有两个内角是直角
C.三角形中有三个内角是直角
D.三角形中不能有内角是直角

答案： B

3 [2025洛阳期末]在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,求证：$\angle B ＜ 90^{\circ}$.
下面是用反证法证明该命题的四个步骤：
① $\therefore \angle A+\angle B+\angle C＞180^{\circ}$,这与三角形的内角和为$180^{\circ}$矛盾.
② $\therefore$假设不成立,$\therefore \angle B ＜ 90^{\circ}$.
③ 在$\triangle ABC$中,假设$\angle B\geq 90^{\circ}$.
④ $\because AB = AC$,$\therefore \angle B= \angle C\geq 90^{\circ}$,即$\angle B+\angle C\geq 180^{\circ}$.
这四个步骤的正确顺序是③④①②. (填序号)

答案： ③④①②

4 [教材P128练习T2变式]用反证法证明：两直线平行,同旁内角互补.

已知：如图,$l_{1}// l_{2}$,$l_{1}$,$l_{2}都被l_{3}$所截.
求证：$\angle 1+\angle 2 = 180^{\circ}$.
证明：假设$\angle 1+\angle 2$≠$180^{\circ}$.
$\because l_{1}// l_{2}$,$\therefore \angle 1$=$\angle 3$.
$\because \angle 1+\angle 2$≠$180^{\circ}$,
$\therefore \angle 3+\angle 2\neq 180^{\circ}$,这和平角为180°矛盾,
$\therefore假设\angle 1+\angle 2$≠$180^{\circ}$不成立,即$\angle 1+\angle 2 = 180^{\circ}$.

答案： ≠ = ≠ 平角为180° ≠

5 [2025平顶山期末]某命题的结论为“$x$,$y$,$z$三个数中至少有一个数为正数”,用反证法证明,假设正确的是 (B)
A.假设三个数都是正数
B.假设三个数都为非正数
C.假设三个数中至多有一个为负数
D.假设三个数中至多有两个为非正数

答案： B

6 [新趋势·代数推理]求证：若$a$,$b$都是正整数,$ab能被5$整除,则$a$,$b中至少有一个能被5$整除. (用反证法证明)

答案： 证明:假设a,b中没有一个能被5整除,即a,b都没有因数5,则ab没有因数5,
∴ab不能被5整除,这与已知条件ab能被5整除矛盾,
∴假设不成立,因此a,b中至少有一个能被5整除.

7 [推理能力]求证：如果实数$a$,$b满足a^{2}+b^{2}= 0$,那么$a = 0且b = 0$. (用反证法证明)

答案： 证明:假设a≠0或b≠0,则a≠0且b≠0或a≠0且b=0或a=0且b≠0.当a≠0且b≠0时,a²＞0,b²＞0,
∴a²+b²＞0,这与a²+b²=0矛盾.同理可得当a≠0且b=0或a=0且b≠0时,a²+b²＞0,这与a²+b²=0矛盾,
∴假设不成立,因此a=0且b=0.

[回顾与思考]什么是勾股定理及其逆定理？反证法的基本思路是什么？
一题练透 “赵爽弦图”的应用
“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理. 如图1所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.


[问题1]设图1中直角三角形的两条直角边长分别为$a$,$b(b ＞ a)$. 若小正方形面积为$5$,$(a + b)^{2}= 21$,求大正方形的面积.
[问题2]若$c = 100$,$b - a = 20$,求每个直角三角形的面积.
[问题3]若图1中大正方形的面积为$24$,小正方形的面积为$4$,现将这四个直角三角形拼成如图2所示的正方形$ABCD$,求正方形$ABCD$的面积.

答案： 解:[问题1]根据题意,得中间小正方形的边长为b-a,
∴(b-a)²=5,
∴b²-2ab+a²=5①.
∵(a+b)²=21,
∴a²+2ab+b²=21②,①+②得2(a²+b²)=26,
∴大正方形的面积为c²=a²+b²=13.[问题2]根据勾股定理,得a²+b²=c²=100²=10000.
∵b-a=20,
∴(b-a)²=20²,即b²-2ab+a²=400,
∴10000-2ab=400,
∴ab=4800,
∴每个直角三角形的面积为1/2ab=2400.[问题3]
∵题图1中大正方形的面积是24,
∴a²+b²=c²=24.
∵题图1中小正方形的面积是4,
∴(b-a)²=a²+b²-2ab=4,
∴ab=10,
∴题图2中正方形ABCD的面积为c²+4×1/2ab=24+2×10=44.