《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

11 $-4^{n + 1} = (-4)^{n + 1}$成立的条件是(C)
A.$n$为奇数
B.$n$为正整数
C.$n$为偶数
D.$n$为负数

答案： C $\because(-4)^{n+1}=(-1)^{n+1}\cdot4^{n+1}=-4^{n+1}$,$\therefore(-1)^{n+1}=-1$,$\therefore n+1$为奇数,$\therefore n$为偶数.

12 现规定一种新运算“※”：$a※b = b^a$. 例如,$3※2 = 2^3 = 8$,则$3※(-\frac{1}{2}) = $$-\frac{1}{8}$,$4※(-2a^3 b^2) = $$16a^{12}b^{8}$.

答案： $-\frac{1}{8}$ $16a^{12}b^{8}$ $3※\left(-\frac{1}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2}\right)^{3}=-\frac{1}{8}$,$4※(-2a^{3}b^{2})=(-2a^{3}b^{2})^{4}=16a^{12}b^{8}$.

13 [2025 周口期中]若$n$为正整数,且$a^{2n} = 7$,求$(3a^{3n})^2 - 4(a^2)^{2n}$的值.

答案： 解:$\because a^{2n}=7$,$\therefore(3a^{3n})^{2}-4(a^{2})^{2n}=9a^{6n}-4a^{4n}=9(a^{2n})^{3}-4(a^{2n})^{2}=9×7^{3}-4×7^{2}=2891$.

14 [2025 佛山模拟]若$3^{2a} = 2^b$,$6^b = 81$,求$2a + b$的值.

答案： 解:$\because3^{2a}=2^{b}$,$6^{b}=81$,$\therefore3^{2a}\cdot3^{b}=2^{b}\cdot3^{b}$,$\therefore3^{2a+b}=(2×3)^{b}$,$\therefore3^{2a+b}=6^{b}=81=3^{4}$,$\therefore2a+b=4$.

15 (1)若$3 × 2^{x + 3} × 4^{x + 3} = 96$,求$x$的值；
(2)若$25^m × 2 × 10^n = 5^7 × 2^4$,求$mn$的值.

答案： 解:
(1)$\because3×2^{x+3}×4^{x+3}=96$,$\therefore2^{x+3}×2^{2(x+3)}=32$,$\therefore2^{3(x+3)}=2^{5}$,$\therefore3(x+3)=5$,解得$x=-\frac{4}{3}$.
(2)$\because25^{m}×2×10^{n}=5^{7}×2^{4}$,$\therefore(5^{2})^{m}×2×(2×5)^{n}=5^{7}×2^{4}$,$\therefore5^{2m}×2×2^{n}×5^{n}=5^{7}×2^{4}$,$\therefore5^{2m+n}×2^{n+1}=5^{7}×2^{4}$,$\therefore2m+n=7$,$n+1=4$,解得$m=2$,$n=3$,$\therefore mn=6$.

16 例：已知$x^2 = m$,$x^3 = n$,请用含$m$,$n的代数式表示x^{11}$.
解：$\because x^2 = m$,$x^3 = n$,
$\therefore x^{11} = x^2 \cdot (x^3)^3 = mn^3或x^{11} = (x^2)^4 \cdot x^3 = m^4 n$.
解决问题：若$a = 4^5$,$b = 5^4$,请用含$a$,$b的代数式表示20^{20}$.

答案： 解:$20^{20}=(4×5)^{20}=4^{20}×5^{20}=(4^{5})^{4}×(5^{4})^{5}$.将$a=4^{5}$,$b=5^{4}$代入,得$20^{20}=a^{4}b^{5}$.

17 [运算能力]求$2^{520} × 3^{521} × 7^{522}$的计算结果的个位数字.

答案： 解:$2^{520}×3^{521}×7^{522}=2^{520}×3^{520+1}×7^{520+2}=(2×3×7)^{520}×3×7^{2}=42^{520}×3×7^{2}$.$\because2^{1}=2$,$2^{2}=4$,$2^{3}=8$,$2^{4}=16$,$2^{5}=32$,$\cdots$,$\therefore2^{n}$的个位数字是每四个数为一个循环.$\because520÷4=130$,$\therefore42^{520}$的末位数字是6.$\because3×7^{2}=3×49=147$,$6×7=42$,$\therefore2^{520}×3^{521}×7^{522}$的值的个位数字为2.