《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,则称这个正整数为“神秘数”。如 $4 = 2^{2}-0^{2}$,$12 = 4^{2}-2^{2}$,$44 = 12^{2}-10^{2}$,故 $4$,$12$,$44$ 都是“神秘数”。
【基础设问】
(1)$28$ 是“神秘数”吗？并说明理由。
(2)设两个连续的偶数分别为 $2k + 2$ 和 $2k$(其中 $k$ 为非负整数),则由这两个连续偶数构造的“神秘数”是 $4$ 的倍数吗？是 $8$ 的倍数吗？为什么？
【能力设问】
(3)$3^{n + 2}+5^{n + 3}-2^{3n}+3×5^{n + 2}-3^{n}$($n$ 为正整数)是“神秘数”吗？为什么？
(4)已知 $N = x^{2}-y^{2}+4x - 6y + k$($x$,$y$ 是正整数,$k$ 是常数,且 $x ＞ y + 1$),要使 $N$ 是“神秘数”,试求出符合条件的一个 $k$ 值,并说明理由。
【拓展设问】
(5)若某长方形相邻的两边长为两个连续的偶数,说明该长方形的周长是“神秘数”。
(6)在(5)的条件下,该长方形的面积是“神秘数”吗？并说明理由。

答案：
(1)是.理由如下:
∵28=8²-6²,
∴28是"神秘数".
(2)
∵k为非负整数,
∴2k+2＞2k.
∵(2k+2)²-(2k)²=(2k+2+2k)(2k+2-2k)=4(2k+1),
∴由这两个连续偶数构造的"神秘数"是4的倍数,不是8的倍数.
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(3)3ⁿ⁺²+5ⁿ⁺³-2³ⁿ+3×5ⁿ⁺²-3ⁿ=3²×3ⁿ+5×5ⁿ⁺²-2³ⁿ+3×5ⁿ⁺²-3ⁿ=(3²-1)×3ⁿ+(5+3)×5ⁿ⁺²-(2³)ⁿ=8×3ⁿ+8×5ⁿ⁺²-8ⁿ,
∵n为正整数,
∴3ⁿ⁺²+5ⁿ⁺³-2³ⁿ+3×5ⁿ⁺²-3ⁿ是8的倍数.根据
(2)的结论,可得3ⁿ⁺²+5ⁿ⁺³-2³ⁿ+3×5ⁿ⁺²-3ⁿ不是"神秘数".
(4)N=x²-y²+4x-6y+k=(x²+4x+4)-(y²+6y+9)+k+5=(x+2)²-(y+3)²+k+5.当k+5=0时,N=(x+2)²-(y+3)²为"神秘数",此时k=-5.故当k=-5时,N为"神秘数".
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(5)设该长方形相邻两边的长分别为2m,2m+2(m为正整数),
∴该长方形的周长为2(2m+2m+2)=2(4m+2)=4(2m+1).根据
(2)的结论,可得4(2m+1)是"神秘数".
(6)不是.理由如下:在
(5)的条件下,该长方形的面积为2m(2m+2)=4m²+4m=4m(m+1).设存在连续偶数2k和2k+2,其中k为非负整数.若该长方形的面积为"神秘数",则有4m(m+1)=(2k+2)²-(2k)²,整理得,4m(m+1)=8k+4,即m(m+1)=2k+1.
∵m为正整数,
∴m与m+1为连续的两个整数,
∴m(m+1)是一个偶数,但2k+1是一个奇数,
∴不存在整数m和k,使等式m(m+1)=2k+1成立,
∴假设该长方形的面积为"神秘数"不成立,
∴该长方形的面积不是"神秘数".