《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

8 [2025 赣州期中]如图,等边三角形纸片$ABC的边长为6$,$E$,$F是边BC$上的三等分点,分别过点$E$,$F沿着平行于BA$,$CA$方向各剪一刀,则剪下的$\triangle DEF$的周长是(B)

A.$5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$

答案： B

9 教材$\mathrm{P}99习题\mathrm{T}3$变式 在如图所示的五个三角形中,$AB = AC$,则经过三角形一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是②⑤。(填序号)

答案： ②⑤

10 如图,$\triangle ABC$是等边三角形,边长为$5$,$\angle ABC和\angle ACB的平分线交于点F$,过点$F作BC的平行线分别交AB$,$AC于点D$,$E$,求$\triangle ADE$的周长。

答案： 解:
∵BF平分∠ABC,
∴∠DBF=∠CBF.
∵BC//DE,
∴∠DFB=∠CBF,
∴∠DBF=∠DFB,
∴DF=DB.
同理可得EF=EC,
∴△ADE的周长=AD + DF + EF + AE=AD + BD + CE + AE=AB + AC=5 + 5 = 10.

11 [2025 常德期末]为测量一条两岸平行的河流的宽度,三个数学活动小组设计了三种方案,他们在河流南岸的点$B测得河流北岸的树A在点B$的正北方,测量方案如下：

(1) 第$1小组要求河宽AB$,只需测出线段BC的长。
(2) 第$2小组测得CD = 30\mathrm{m}$,则河宽$AB= $30$\mathrm{m}$。
(3) 第$3小组只要测得BC$的长,就能得到河宽$AB$,你认为第$3$小组的方案可行吗？若可行,请给出证明；若不可行,请说明理由。

答案：
(1)BC
根据题意,得∠ABC=90°.
∵∠ACB=45°,
∴∠BAC=90° - ∠ACB=45°,
∴∠BAC=∠ACB=45°,
∴AB=BC.
(2)30
根据题意,得OB=OC,∠ABO=∠DCO=90°.在△ABO和△DCO中,∠ABO=∠DCO,OB=OC,∠AOB=∠DOC,
∴△ABO≌△DCO(ASA),
∴AB=CD=30 m.
(3)可行.证明如下:
∵∠DBC=70°,∠ACB=35°,
∴∠BAC=∠DBC - ∠ACB=70° - 35° = 35°,
∴∠BAC=∠ACB=35°,
∴AB=BC,
∴只要测得BC的长就能得到河宽AB.

12 教材$\mathrm{P}116复习题\mathrm{T}15$变式 [2025 济宁期末]如图,$B$,$E$,$C$,$F是直线l$上的四点,$AC$,$DE相交于点G$,$AB = DF$,$AC = DE$,$BC = EF$。
(1) 求证：$\triangle GEC$是等腰三角形。
(2) 连接$AD$,求直线$AD与l$的位置关系。

答案：
(1)证明:在△ABC和△DFE中,
AB=DF,AC=DE,BC=FE,
∴△ABC≌△DFE(SSS),
∴∠ACB=∠DEF,
∴EG=CG,
∴△GEC是等腰三角形.
(2)解:
∵AC=DE,EG=CG,
∴AC - CG=DE - EG,
∴AG=DG,
∴∠GAD=∠GDA=$\frac{1}{2}$(180° - ∠AGD).
∵∠ACE=∠DEF=$\frac{1}{2}$(180° - ∠CGE),∠AGD=∠CGE,
∴∠GAD=∠ACE,即∠CAD=∠ACB,
∴AD//l.

13 新趋势·尺规作图 教材$\mathrm{P}96练习\mathrm{T}4$变式 [2024 陕西中考$\mathrm{A}$卷]如图,已知直线$l和l外一点A$,请用尺规作图法,求作一个等腰直角三角形$ABC$,使得顶点$B和顶点C都在直线l$上。(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可,保留作图痕迹,不写作法)

答案： 解:如图1,等腰直角三角形ABC即所求.(或如图2,等腰直角三角形ABC即所求)