《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

1 教材 P41 读一读变式 为探究“十位上数字之和为 10,个位上数字相同”的两个数乘积的规律,现得到如下等式：
$26×86 = 22×100 + 36$,$37×77 = 28×100 + 49$,
$45×65 = 29×100 + 25$,$53×53 = 28×100 + 9$,
$64×44 = 28×100 + 16$,……
(1)$55×55$结果的后两位数为25；
(2)设其中一个数十位上的数字为$a$,个位上的数字为$b$($a$,$b$均为小于 10 的正整数),请用含$a$,$b$的代数式分别表示上述两个数,并说明这两个数乘积的后两位数等于$b^{2}$；
(3)若两个数十位上的数字相同,个位上的数字之和为 10,设其中一个数个位上的数字为$c$($c$为小于 10 的正整数),求这两个数乘积的后两位数.(用含$c$的代数式表示)

答案： 1 解:
(1)25
观察题中的等式可知,这两个数的个位数字与个位数字的乘积就是这两个数乘积的后两位数.
∵5×5=25,
∴55×55结果的后两位数为25.
(2)根据题意得,这两个两位数可分别表示为10a+b,10(10-a)+b=100-10a+b,
∴这两个数的乘积为(10a+b)(100-10a+b)=1000a-100a²+10ab+100b-10ab+b²=1000a-100a²+100b+b²,
∴这两个数乘积的后两位数等于b².
(3)设十位上的数字为a,
则这两个两位数可分别表示为10a+c,10a+10-c,
∴这两个数的乘积为(10a+c)(10a+10-c)=100a²+100a-10ac+10ac+10c-c²=100a²+100a+10c-c²,
∴这两个数乘积的后两位数等于10c-c².

2 教材 P42 阅读材料变式 [2025 河南省实验中学月考]下面框中的内容是北师大版教材七年级下册第 24 页为大家介绍的杨辉三角(也称贾宪三角).
如果将$(a + b)^{n}$($n$为非负整数)的展开式的每一项按字母$a$的次数由大到小排列,就可以得到下面的等式：$(a + b)^{0} = 1$,它只有一项,系数为 1；$(a + b)^{1} = a + b$,它有两项,系数分别为 1,1；$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$,它有三项,系数分别为 1,2,1；$(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$,它有四项,系数分别为 1,3,3,1.
将上述每个式子的各项系数排成该表：

观察该表,可以发现每一行的首末都是 1,并且下一行的数比上一行多 1 个,中间各数都写在上一行两数的中间,且等于它们的和,按照这个规律可以将这个表继续往下写.
(1)$(a + b)^{5}$的展开式共有六项,$(a + b)^{6}$的第三项的系数是15.
(2)结合杨辉三角,解决下列问题：
① 一题多解 计算：$2^{5} - 5×2^{4} + 10×2^{3} - 10×2^{2} + 5×2 - 1$.
②猜想：$(2x - 1)^{6}的展开式中含x^{3}$项的系数是-160,并说明理由.
(1)根据题意得,四次展开式有五项,系数分别是1,4,6,4,1;五次展开式有六项,系数分别是1,5,10,10,5,1;六次展开式有七项,系数分别是1,6,15,20,15,6,1.
(2)① 通解 2⁵-5×2⁴+10×2³-10×2²+5×2-1=32-80+80-40+10-1=1.
优解 2⁵-5×2⁴+10×2³-10×2²+5×2-1=(2-1)⁵=1.
②理由如下:
(2x-1)⁶展开后有七项,第一项是(2x)⁶,
第二项是6×(2x)⁵×(-1),
第三项是15×(2x)⁴×(-1)²,
第四项是20×(2x)³×(-1)³=-160x³,
∴(2x-1)⁶的展开式中含x³项的系数是-160.

答案： 2 解:
(1)六 15
根据题意得,四次展开式有五项,系数分别是1,4,6,4,1;五次展开式有六项,系数分别是1,5,10,10,5,1;六次展开式有七项,系数分别是1,6,15,20,15,6,1.
(2)① 通解 2⁵-5×2⁴+10×2³-10×2²+5×2-1=32-80+80-40+10-1=1.
优解 2⁵-5×2⁴+10×2³-10×2²+5×2-1=(2-1)⁵=1.
② -160.理由如下:
(2x-1)⁶展开后有七项,第一项是(2x)⁶,
第二项是6×(2x)⁵×(-1),
第三项是15×(2x)⁴×(-1)²,
第四项是20×(2x)³×(-1)³=-160x³,
∴(2x-1)⁶的展开式中含x³项的系数是-160.