《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

14 [2025 邯郸模拟]在下列各等式的括号中填入$t^{3}$,等式成立的是(C)
A.$t^{3}·( ) = 2t^{3}$
B.$t^{2}·( ) = t^{6}$
C.$t^{2}·( ) + t^{5}= 2t^{5}$
D.$t^{5}÷( ) + t^{6}= 2t^{6}$

答案： C A选项，$t^{3}\cdot t^{3}=t^{6}\neq 2t^{3}$；B选项，$t^{2}\cdot t^{3}=t^{5}\neq t^{6}$；C选项，$t^{2}\cdot t^{3}+t^{5}=t^{5}+t^{5}=2t^{5}$；D选项，$t^{5}÷ t^{3}+t^{6}=t^{2}+t^{6}\neq 2t^{6}$.

15 计算$16^{m}÷4^{n}÷2$的结果为(D)
A.$2^{m - n - 1}$
B.$2^{2m - n - 1}$
C.$2^{3m - 2n - 1}$
D.$2^{4m - 2n - 1}$

答案： D $16^{m}÷ 4^{n}÷ 2=2^{4m}÷ 2^{2n}÷ 2=2^{4m - 2n - 1}$.

16 已知$3^{m}= 4$,$3^{2m - 4n}= 2$.若$9^{n}= x$,则$x^{2}$的值为8.

答案： 8 $\because 3^{m}=4$，$3^{2m - 4n}=(3^{m})^{2}÷ (3^{n})^{4}=2$，$\therefore 4^{2}÷ (3^{n})^{4}=2$，$\therefore (3^{n})^{4}=3^{4n}=4^{2}÷ 2 = 8$。$\because 9^{n}=3^{2n}=x$，$\therefore x^{2}=(3^{2n})^{2}=3^{4n}=8$。

17 逆用同底数幂相除的运算性质,能够解决一些从正面考虑较难的问题.
例：若$10^{x}= 5$,求$10^{1 - x}$的值.
解：$\because 10^{x}= 5$,$\therefore 10^{1 - x}= 10^{1}÷10^{x}= 10÷5 = 2$(逆用$a^{m}÷a^{n}= a^{m - n}$).
当$4^{x}= 9$时,求$2^{1 - 2x}$的值.

答案： 解：$\because 4^{x}=9$，$\therefore 2^{2x}=9$，$\therefore 2^{1 - 2x}=2÷ 2^{2x}=2÷ 9=\frac{2}{9}$。

18 已知$p^{m}= 3$,$p^{2m + n}= 243$.
(1)求$p^{n}$的值；
(2)求$m$,$n$之间的数量关系；
(3)求$p^{2n}÷p^{3m}$的值；
(4)若$(p - 1)^{3}-3 = 5$,求$4n - 5m$的值.

答案： 解：
(1)$\because p^{2m + n}=243$，$\therefore p^{2m}\cdot p^{n}=(p^{m})^{2}\cdot p^{n}=243$。$\because p^{m}=3$，$\therefore 3^{2}\cdot p^{n}=243$，$\therefore p^{n}=243÷ 9 = 27$。
(2)$\because p^{m}=3$，$p^{n}=27$，$\therefore p^{n}=3^{3}=(p^{m})^{3}=p^{3m}$，$\therefore 3m = n$。
(3)$p^{2n}÷ p^{3m}=p^{2n - 3m}=p^{6m - 3m}=p^{3m}=(p^{m})^{3}=3^{3}=27$。
(4)$\because (p - 1)^{3}-3 = 5$，$\therefore (p - 1)^{3}=8 = 2^{3}$，$\therefore p - 1 = 2$，解得$p = 3$。$\because p^{m}=3$，$p^{n}=27$，$\therefore 3^{m}=3$，$3^{n}=27 = 3^{3}$，$\therefore m = 1$，$\therefore n = 3$，$\therefore 4n - 5m = 7$。

19 (1)观察下列各式：
①$2^{4}÷2^{3}= 2^{4 - 3}= 2^{1}$,②$2^{4}÷2^{2}= 2^{4 - 2}= 2^{2}$,③$2^{4}÷2 = 2^{4 - 1}= 2^{3}$,④$2^{4}÷2^{0}= 2^{4 - 0}= 2^{4}$.
猜想：⑤$2^{4}÷2^{-1}= $$2^{5}$,⑥$2^{4}÷2^{-2}= $$2^{6}$.
(2)在$a^{m}÷a^{n}$中,$m$,$n$可以表示正整数,还可以表示零和负整数.
(3)计算：①$3^{3}÷3^{-7}$；②$(-\dfrac{1}{2})^{10}÷(-\dfrac{1}{2})^{-15}$.
①$3^{3}÷ 3^{-7}=3^{3-(-7)}=3^{10}$。②$(-\frac{1}{2})^{10}÷ (-\frac{1}{2})^{-15}=(-\frac{1}{2})^{10-(-15)}=-(\frac{1}{2})^{25}=-\frac{1}{2^{25}}$。

答案： 解：
(1)$2^{5}$ $2^{6}$
(2)零和负整数
(3)①$3^{3}÷ 3^{-7}=3^{3-(-7)}=3^{10}$。②$(-\frac{1}{2})^{10}÷ (-\frac{1}{2})^{-15}=(-\frac{1}{2})^{10-(-15)}=-(\frac{1}{2})^{25}=-\frac{1}{2^{25}}$。

20 [运算能力][2025 长沙期中]【定义学习】
已知实数$a$,$b$,新定义：若$a^{c}= b$,则$[a,b]= c$.
例如：$2^{3}= 8$,记作$[2,8]= 3$.
【初步探究】
(1)$[4,64]=$3.
【深入思考】
小明发现$[5,3]+[5,4]= [5,12]$,并证明如下：
设$[5,3]= x$,$[5,4]= y$,则$5^{x}= 3$,$5^{y}= 4$.
$\because 5^{x}·5^{y}= 5^{x + y}= 12$,$\therefore [5,12]= x + y$,
$\therefore [5,3]+[5,4]= x + y= [5,12]$.
(2)$[2025,6]+[2025,7]= [2025,$42$]$,并说明理由.
(3)猜想$[4,14]-[4,7]= [4,$2$]$,并说明理由.

答案： 解：
(1)3 $\because 4^{3}=64$，$\therefore [4,64]=3$。
(2)42。理由如下：设$[2025,6]=x$，$[2025,7]=y$，则$2025^{x}=6$，$2025^{y}=7$。$\because 2025^{x}\cdot 2025^{y}=2025^{x + y}=6× 7 = 42$，$\therefore [2025,42]=x + y$，$\therefore [2025,6]+[2025,7]=[2025,42]$。
(3)2。理由如下：设$[4,14]=x$，$[4,7]=y$，则$4^{x}=14$，$4^{y}=7$。$\because 4^{x}÷ 4^{y}=4^{x - y}=14÷ 7 = 2$，$\therefore [4,2]=x - y$，$\therefore [4,14]-[4,7]=x - y=[4,2]$。