《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

10 如图,已知直线l及l外的一点P,过点P作直线l的平行线,下面四种作法错误的是(C)
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答案： C A选项,利用“等边对等角”“角平分线的定义”及“内错角相等,两直线平行”可得两直线平行.B选项,利用“同位角相等,两直线平行”可得两直线平行.C选项无法判定两直线平行.D选项,利用“内错角相等,两直线平行”可得两直线平行.

11 如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的,则∠BAC的度数为( )

A.28°
B.36°
C.45°
D.72°

答案：
B 如图,五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形,
∴∠EAB=∠ACD=$\frac{180^{\circ}×(5-2)}{5}=108^{\circ}$,
∴∠ACB=∠EAC=180°-108°=72°,
∴∠BAC=∠EAB-∠EAC=108°-72°=36°.

12 [2024福建中考]小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案.如图,其中△OAB与△ODC都是等腰三角形,且它们关于直线l对称,点E,F分别是底边AB,CD的中点,OE⊥OF.下列推断错误的是( )

A.OB⊥OD
B.∠BOC= ∠AOB
C.OE= OF
D.∠BOC+∠AOD= 180°

答案：
B A选项,
∵OE⊥OF,
∴∠BOE+∠BOF=90°.由△AOB≌△DOC,可得∠AOB=∠DOC.已知点E,F分别是底边AB,CD的中点,
∴OE平分∠AOB,OF平分∠COD,
∴∠BOE=$\frac{1}{2}\angle AOB$,∠DOF=$\frac{1}{2}\angle DOC$,
∴∠BOE=∠DOF,
∴∠BOF+∠DOF=90°,
∴OB⊥OD.B选项,根据题中条件,得不到∠BOC=∠AOB.C选项,
∵△OAB≌△ODC,且△OAB和△ODC都是等腰三角形,OE和OF是对应底边上的中线,
∴OE=OF.D选项,如图,过点O作GM⊥OH于点O,
∴∠GOD+∠DOH=90°.
∵∠BOH+∠DOH=90°,
∴∠GOD=∠BOH.由轴对称可得∠BOH=∠COH,
∴∠GOD=∠COH,同理可得∠AOM=∠BOH,
∴∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOM+∠DOG=180°.

13 [2025张家界永定区期中]已知△ABC是等腰三角形.若∠A= 40°,则△ABC的顶角度数是100°或40°.

答案： 100°或40° 不确定∠A是顶角还是底角,故分情况讨论:①当∠A是顶角时,△ABC的顶角度数是40°;②当∠A是底角时,△ABC的顶角度数是180°-2×40°=100°.综上,△ABC的顶角度数是100°或40°.

14 [2025莆田十五中期中]借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O点转动,C点固定,OC= CD= DE,点D,E可在槽中滑动.若∠BDE= 75°,则∠CDE的度数是______.
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80°

答案： 80°
∵OC=CD=DE,
∴∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC,
∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC,
∴∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=75°,
∴∠ODC=25°.
∵∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=105°,
∴∠CDE=105°-∠ODC=80°.

15 [2025泰安岱岳区期末]在△ABC中,AB= AC.
(1)如图1,AD是BC上的高,AD= AE.
①若∠BAD= 20°,则∠EDC= 10°；
②若∠BAD= 50°,则∠EDC= 25°.
(2)通过以上两个小题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：∠EDC=$\frac{1}{2}\angle BAD$.
(3)如图2,若AD不是BC上的高,AD= AE,是否仍有上述关系？若有,请写出来,并说明理由.
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答案： 解:
(1)①10在△ABC中,
∵AB=AC,AD是BC上的高,
∴∠BAD=∠CAD=20°.
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=80°.
∵AD是BC上的高,
∴∠ADC=90°,∠EDC=90°-∠ADE=10°.②25在△ABC中,
∵AB=AC,AD是BC上的高,
∴∠BAD=∠CAD=50°,
∴∠ADC=90°,
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=65°,
∴∠EDC=90°-∠ADE=25°.
(2)∠EDC=$\frac{1}{2}\angle BAD$
(3)有∠EDC=$\frac{1}{2}\angle BAD$.理由如下:
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED,
∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=∠EDC+∠C+∠EDC=2∠EDC+∠C.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠BAD=2∠EDC,即∠EDC=$\frac{1}{2}\angle BAD$.

16 [推理能力][2025绍兴期中]如图,在△ABC中,AB= BC= AC= 12cm,已知点M,N分别从点A,B同时出发,沿△ABC的边运动,点M的速度是1cm/s,点N的速度是2cm/s,运动时间为t s.当点N第一次到达点B时,点M,N同时停止运动.
(1)当点M运动到点C时,点N运动到什么位置？并说明理由.
(2)当△AMN是等边三角形时,t的值是多少？
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答案： 解:
(1)点N运动到点C.理由如下:当点M运动到点C时,t=$\frac{12}{1}=12$.
∵点N的速度为2 cm/s,
∴点N的运动路程为12×2=24(cm).
∵AB=AC=12 cm,
∴AC+AB=24 cm,
∴当点M运动到点C时,点N运动到点C.
(2)当点N在边AB上时,0≤t＜6,此时点M在边AC上,根据题意,得AN=12-2t,AM=t.
∵AB=BC=AC=12 cm,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°,
∴当AM=AN时,△AMN为等边三角形,
∴12-2t=t,解得t=4.当点N在边AC上时,6≤t＜12,此时点M在边AC上,不合题意.当点N在边BC上时,12≤t≤18,此时点M在边BC上,不合题意.综上,当△AMN是等边三角形时,t的值是4.