《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

1 [2025 武汉期中]在$\triangle ABC$中,$BD$是中线.
(1)如图 1,延长$BD到点E$,使$DE = BD$,连接$AE$.
①求证：$\triangle ADE\cong\triangle CDB$.
②若$AB = 6$,$BC = 4$,求$BD$的取值范围.
(2)如图 2,延长$CA到点F$,使$AF = BC$.若$\angle ABC = \angle BAC$.求证：$BF = 2BD$.

答案：
1
(1)①证明:
∵BD是△ABC的中线,
∴AD=CD.
在△ADE和△CDB中,
AD=CD,∠ADE=∠CDB,DE=DB,
∴△ADE≌△CDB(SAS).
②解:
∵△ADE≌△CDB,
∴AE=BC=4.
∵AB - AE＜BE＜AB + AE,
∴2＜BE＜10.
∵DE=BD,
∴BD=$\frac{1}{2}$BE,
∴1＜BD＜5.
(2)证明:如图,延长BD到点E,使DE=BD,连接AE,
则BE=2BD.
根据
(1)的证明,可得△ADE≌△CDB,
∴AE=BC=AF,∠DAE=∠C,
∴AE//BC,
∴∠ABC+∠BAE=180°.
∵∠BAC+∠BAF=180°,∠ABC=∠BAC,
∴∠BAE=∠BAF.
在△BAE和△BAF中,
AE=AF,∠BAE=∠BAF,BA=BA,
∴△BAE≌△BAF(SAS),
∴BE=BF,
∴BF=2BD.

2 一题多解 如图,$AB// CD$,$BE平分\angle ABC$,$CE平分\angle BCD$,点$E在AD$上.求证：$BC = AB + CD$.

答案：
2 证明:通解1(截长法) 如图1,在BC上截取BF=AB,连接EF.
∵BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,
∴∠ABE=∠FBE,∠FCE=∠DCE.
在△ABE和△FBE中,AB=FB,∠ABE=∠FBE,BE=BE,
∴△ABE≌△FBE(SAS),
∴∠A=∠BFE.
∵AB//CD,
∴∠A+∠D=180°,
∴∠BFE+∠D=180°.
∵∠BFE+∠CFE=180°,
∴∠CFE=∠D.
在△FCE和△DCE中,∠CFE=∠D,∠FCE=∠DCE,CE=CE,
∴△FCE≌△DCE(AAS),
∴CF=CD,
∴BC=BF+CF=AB+CD.

通解2(补短法) 如图2,延长CD至点F,使CF=BC,连接EF.
∵CE平分∠BCD,
∴∠BCE=∠FCE.
在△BCE和△FCE中,BC=FC,∠BCE=∠FCE,CE=CE,
∴△BCE≌△FCE(SAS),
∴BE=FE,∠CBE=∠F.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,
∴∠ABE=∠F.
∵AB//CD,
∴∠A=∠EDF.
在△ABE和△DFE中,∠A=∠EDF,∠ABE=∠F,BE=FE,
∴△ABE≌△DFE(AAS),
∴AB=DF,
∴BC=CF=DF+CD=AB+CD.

易错分析
证明△ABE≌△DFE时,不能直接利用AB//CD得到∠ABE=∠F,原因是没有指明点B,E,F一定共线.