《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

13 若$[(x^{3})^{m}]^{2}= x^{12}$,则$m$的值是(B)
A.1
B.2
C.3
D.7

答案： B

14 [2024 河北中考]若$a$,$b$是正整数,且满足$\underbrace{2^{a}+2^{a}+… +2^{a}}_{8个2^{a}相加}= \underbrace{2^{b}×2^{b}×… ×2^{b}}_{8个2^{b}相乘}$,则$a与b$的关系正确的是(A)

A.$a + 3 = 8b$
B.$3a = 8b$
C.$a + 3 = b^{8}$
D.$3a = 8 + b$

答案： A

15 若$x = 2^{m}+2$,$y = 3 + 4^{m}$。
(1)请用含$x的代数式表示y$；
(2)若$x = 3$,求此时$y$的值。

答案： 解:
(1)
∵x=2ᵐ+2,
∴2ᵐ=x-2.
∵4ᵐ=(2²)ᵐ=(2ᵐ)²=(x-2)²,
∴y=(x-2)²+3.
(2)当x=3时,y=(3-2)²+3=4.

16 [2025 保定模拟]对于两个非零的有理数$a$,$b$,定义新运算：$a\odot b = a^{b}$。若$(2\odot m)×(4\odot n)= 32$,求$m + 2n$的值。

答案： 解:
∵a⊙b=aᵇ,
∴(2⊙m)×(4⊙n)=2ᵐ×4ⁿ=32.
∵2ᵐ×4ⁿ=2ᵐ×(2²)ⁿ=2ᵐ×2²ⁿ=2ᵐ⁺²ⁿ,
∴2ᵐ⁺²ⁿ=32=2⁵,
∴m+2n=5.

17 [运算能力]阅读下列材料,解决问题。
材料一：比较$3^{22}和4^{11}$的大小。
解：$\because 4^{11}= (2^{2})^{11}= 2^{22}$,$3＞2$,
$\therefore 3^{22}＞2^{22}$,即$3^{22}＞4^{11}$。
小结：指数相同的情况下,通过比较底数(底数大于 1)的大小来确定两个幂的大小。
材料二：比较$2^{8}和8^{2}$的大小。
解：$\because 8^{2}= (2^{3})^{2}= 2^{6}$,$8＞6$,
$\therefore 2^{8}＞2^{6}$,即$2^{8}＞8^{2}$。
小结：底数相同(底数大于 1)的情况下,通过比较指数的大小来确定两个幂的大小。
(1)比较$3^{44}$,$4^{33}$,$5^{22}$的大小；
(2)比较$81^{31}$,$27^{41}$,$9^{61}$的大小；
追问：已知$a^{2}= 2$,$b^{3}= 3$,比较$a$,$b$的大小。($a$,$b$均为大于 1 的数)

答案： 解:
(1)
∵3⁴⁴=(3⁴)¹¹=81¹¹,4³³=(4³)¹¹=64¹¹,5²²=(5²)¹¹=25¹¹,81＞64＞25,
∴81¹¹＞64¹¹＞25¹¹,即3⁴⁴＞4³³＞5²².
(2)
∵81³¹=(3⁴)³¹=3¹²⁴,27⁴¹=(3³)⁴¹=3¹²³,9⁶¹=(3²)⁶¹=3¹²²,124＞123＞122,
∴3¹²⁴＞3¹²³＞3¹²²,即81³¹＞27⁴¹＞9⁶¹.追问:
∵a²=2,b³=3,
∴a⁶=8,b⁶=9.
∵8＜9,
∴a⁶＜b⁶.又
∵a,b均为大于1的数,
∴a＜b.