《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

1 [教材 P81 例 7 变式] 如图,点 C 在∠AOB 的边 OB 上,用尺规作图：

①以点 O 为圆心,任意长为半径画弧,交 OA 于点 D,交 OB 于点 E；②以点 C 为圆心,OD 的长为半径画弧,交 CB 于点 F；③以点 F 为圆心,DE 的长为半径画弧,交前弧于点 P(点 P 与点 D 在 OB 同侧)；④作射线 CP. 仅根据作图过程判断,下列结论不一定正确的是 (C)
A.∠AOE = ∠PCF
B.OA // CP
C.DE = OE
D.△DOE ≌ △PCF

答案： C 依题意知,在△DOE 和△PCF 中,OD=CP,DE=PF,OE=CF,则△DOE≌△PCF(SSS),
∴∠AOE=∠PCF,
∴OA//CP,故选项A,B,D 结论正确.不能推出DE=OE 成立,故选项C 错误.

2 [教材 P114 复习题 T3 变式][2024 内江中考] 如图,点 A,D,B,E 在同一条直线上,AD = BE,AC = DF,BC = EF.
(1)求证：△ABC ≌ △DEF.
(2)若∠A = 55°,∠E = 45°,求∠F 的度数.

答案：
(1)证明:
∵AD=BE,
∴AD+DB=BE+DB,即AB=DE(等式的基本性质1).在△ABC 和△DEF 中,AC=DF(已知),BC=EF(已知),AB=DE(已证),
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)解:
∵△ABC≌△DEF,∠A=55°,
∴∠FDE=∠A=55°(全等三角形的对应角相等).
∵∠E=45°(已知),
∴∠F=180°-∠FDE-∠E=80°(三角形的内角和为180°).

3 [北师七下教材 P105 例 2] 如图,AC 与 BD 相交于点 O,且 OA = OB,OC = OD.
(1)△AOD 与△BOC 全等吗？请说明理由.
(2)△ACD 与△BDC 全等吗？为什么？

答案：
(1)△AOD≌△BOC.理由如下:根据题意,得∠AOD=∠BOC(对顶角相等).在△AOD 和△BOC 中,OA=OB(已知),∠AOD=∠BOC(已证),OD=OC(已知),
∴△AOD≌△BOC(SAS).
(2)△ACD≌△BDC.理由如下:
∵△AOD≌△BOC,
∴AD=BC(全等三角形的对应边相等).
∵OA=OB,OC=OD,
∴OA+OC=OB+OD,即AC=BD(等式的基本性质1).在△ACD 和△BDC 中,AD=BC(已证),AC=BD(已证),DC=CD(公共边),
∴△ACD≌△BDC(SSS).

4 [北师七下教材 P108 习题 T12] 如图,仪器 ABCD 可以用来平分一个角,其中 AB = AD,BC = DC,将仪器上的点 A 与∠PRQ 的顶点 R 重合,调整 AB 和 AD,使它们落在角的两边上,沿 AC 画一条射线 AE,AE 就是∠PRQ 的平分线. 你认为这样合理吗？为什么？

答案： 合理.理由如下:在△ABC 和△ADC 中,AB=AD(已知),BC=DC(已知),AC=AC(公共边),
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠QAE=∠PAE(全等三角形的对应角相等),
∴AE 就是∠PRQ 的平分线(角平分线的定义).

5 [2025 朔州期中] 在上学的路上,淘淘发现路边的一根电线杆两侧对称地拉着钢绳(即两侧钢绳的长度相等,如图 1),他很快明白了其中的道理. 淘淘来到学校,看到学校的旗杆两侧并没有拉钢绳,于是提出问题：学校的旗杆是否垂直于地面？如图 2,淘淘找来两根 5 m 长的绳子,一端系在旗杆上的同一位置 A 处,另一端分别固定在地面的两个木桩 B,C 上(两个木桩和旗杆在同一平面内,绳子打结处的长度忽略不计,绳子均是拉直状态).
(1)在图 1 中,电线杆的两侧对称地拉着钢绳,目的是防止电线杆倾倒,这样做的依据是 三角形具有稳定性.
(2)如图 2,需要测量哪些线段的长度？当测量出的线段满足什么条件时,旗杆垂直于地面？并说明理由.

答案：
(1)三角形具有稳定性
(2)需要测量线段BD 和CD 的长度.当BD=CD 时,旗杆是垂直于地面的.理由如下:根据题意,得AB=AC.在△ADB 和△ADC 中,AD=AD(公共边),AB=AC(已知),BD=CD(已知),
∴△ADB≌△ADC(SSS),
∴∠ADB=∠ADC(全等三角形的对应角相等).由题意知,点B,D,C 共线,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵∠ADB+∠ADC=180°,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴AD⊥BC(垂直的定义).