《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

13 若$x^{2} - y^{2} = -1$,则$(x - y)^{2025}·(x + y)^{2025} = $ (B)
A.1
B.$-1$
C.2
D.$-2$

答案： B (x-y)²⁰²⁵·(x+y)²⁰²⁵=[(x+y)(x-y)]²⁰²⁵=(x²-y²)²⁰²⁵=(-1)²⁰²⁵=-1.

14 [2025上海期中]已知三个连续的偶数,设中间的偶数为$k$,则这三个偶数的积为(k³-4k)
A.$k^{3} - 4k$
B.$8k^{3} - 8k$
C.$4k^{3} - k$
D.$8k^{3} - 2k$

答案： A 根据题意,得另外两个偶数分别为k-2,k+2,则这三个偶数的积为k(k-2)(k+2)=k(k²-4)=k³-4k.

15 已知$2a^{2} + 3a - 6 = 0$,求代数式$3a(2a + 1) - (2a + 1)(2a - 1)$的值.

答案： 解:3a(2a+1)-(2a+1)(2a-1)=6a²+3a-(4a²-1)=6a²+3a-4a²+1=2a²+3a+1.
∵2a²+3a-6=0,
∴2a²+3a=6,
∴原式=2a²+3a+1=6+1=7.

16 新趋势·代数推理对于任意的正整数$n$,证明：$(3n + 1)(3n - 1) - (3 - n)(3 + n)能被10$整除.

答案： 证明:(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)=(3n)²-1-(3²-n²)=9n²-1-9+n²=10n²-10=10(n²-1).
∵n为正整数,
∴10(n²-1)能被10整除,
∴对于任意正整数n,(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)能被10整除.

17 [2025沧州模拟]在化简整式$(x - 2)\mathbf{\color{red}{■}}(x + 2) + ▲$时,“$\mathbf{\color{red}{■}}$”表示运算符号“$-$”或“$×$”中的一个,“$▲$”表示一个整式.
(1)若$(x - 2)(x + 2) + ▲ = 2x^{2} - 3$,求整式$▲$；
(2)已知$(x - 2)\mathbf{\color{red}{■}}(x + 2) + ▲$的结果是二次单项式,若$▲$是常数项,求$\mathbf{\color{red}{■}}表示的符号及▲$的值.

答案：
(1)
∵(x-2)(x+2)+▲=2x²-3,
∴▲=2x²-3-(x-2)(x+2)=2x²-3-(x²-4)=2x²-3-x²+4=x²+1；
(2)
∵(x-2)■(x+2)+▲的结果是二次单项式,且▲是常数项,
∴■表示的运算符号是“×”,
∴(x-2)■(x+2)+▲=(x-2)(x+2)+▲=x²-4+▲.
∵x²-4+▲是二次单项式,且▲是常数项,
∴-4+▲=0,解得▲=4.

18 运算能力小明遇到下面一个问题：计算$(2 + 1)×(2^{2} + 1)×(2^{4} + 1)$.经观察,小明发现先将原式变形,可得特殊结构,再用平方差公式解决问题,具体解法如下：
$(2 + 1)×(2^{2} + 1)×(2^{4} + 1)$
$= (2 - 1)×(2 + 1)×(2^{2} + 1)×(2^{4} + 1)$
$= (2^{2} - 1)×(2^{2} + 1)×(2^{4} + 1)$
$= (2^{4} - 1)×(2^{4} + 1) = 2^{8} - 1$.
根据小明的方法,计算：
(1)$\frac{1}{2} + (3 + 1)×(3^{2} + 1)×(3^{4} + 1)×(3^{8} + 1)$；
(2)$2 - (1 + \frac{1}{2})×(1 + \frac{1}{2^{2}})×(1 + \frac{1}{2^{4}})×(1 + \frac{1}{2^{8}})$.

答案：
(1)$\frac{1}{2}$+(3+1)×(3²+1)×(3⁴+1)×(3⁸+1)=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$×(3-1)×(3+1)×(3²+1)×(3⁴+1)×(3⁸+1)=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$×(3²-1)×(3²+1)×(3⁴+1)×(3⁸+1)=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$×(3⁴-1)×(3⁴+1)×(3⁸+1)=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$×(3⁸-1)×(3⁸+1)=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$×(3¹⁶-1)=$\frac{1}{2}$+$\frac{3¹⁶}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{3¹⁶}{2}$；
(2)2-(1+$\frac{1}{2}$)×(1+$\frac{1}{2²}$)×(1+$\frac{1}{2⁴}$)×(1+$\frac{1}{2⁸}$)=2-2×(1-$\frac{1}{2}$)×(1+$\frac{1}{2}$)×(1+$\frac{1}{2²}$)×(1+$\frac{1}{2⁴}$)×(1+$\frac{1}{2⁸}$)=2-2×(1-$\frac{1}{2²}$)×(1+$\frac{1}{2²}$)×(1+$\frac{1}{2⁴}$)×(1+$\frac{1}{2⁸}$)=2-2×(1-$\frac{1}{2⁴}$)×(1+$\frac{1}{2⁴}$)×(1+$\frac{1}{2⁸}$)=2-2×(1-$\frac{1}{2⁸}$)×(1+$\frac{1}{2⁸}$)=2-2×(1-$\frac{1}{2¹⁶}$)=2-2+2×$\frac{1}{2¹⁶}$=$\frac{1}{2¹⁵}$.