《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

7 [2025 盘锦期末]如图,有一个长为$a$、宽为$b$的长方形,其周长为$14$,面积为$12$,则$(a + 1)(b + 1) = $(20)

A.$19$
B.$20$
C.$26$
D.$27$

答案： B 根据题意,得$ab=12$,$2(a+b)=14$,
∴$a+b=7$,
∴$(a+1)(b+1)=ab+(a+b)+1=12+7+1=20.$

8 根据图 1 的面积可以说明多项式的乘法运算$(2a + b)(a + b) = 2a^{2} + 3ab + b^{2}$,那么根据图 2 的面积可以说明的多项式的乘法运算是(A)


A.$(a + 3b)(a + b) = a^{2} + 4ab + 3b^{2}$
B.$(a + 3b)(a + b) = a^{2} + 3b^{2}$
C.$(b + 3a)(b + a) = b^{2} + 4ab + 3a^{2}$
D.$(a + 3b)(a - b) = a^{2} + 2ab - 3b^{2}$

答案： A

9 [新情境 教材 P35 习题 T7 变式][2025 朔州期末]某校学生在社会实践中,遇到了一些各具特色的建筑,令人印象深刻地有回字形福建土楼(图 1),也有山西大院(图 2),这两个建筑,哪个占地面积(图中阴影)更大?同学们展开了讨论,①组同学认为图 1 中回字形福建土楼的占地面积更大;②组同学认为图 2 中山西大院的占地面积更大.为证明自己的想法,两组同学分别对建筑物进行了测量,数据如图.

(1)分别计算这两个建筑物的占地面积;
(2)若$0 ＜ a ＜ b$,则哪组同学的想法正确?

答案： 解:
(1)回字形福建土楼的占地面积为$(3a+2b)(2a+b)-(a+2b)(a+b)=6a^{2}+3ab+4ab+2b^{2}-2b^{2}-2ab-ab-a^{2}=5a^{2}+4ab$,
山西大院的占地面积为$(a+a+b)(2a+b+a+a)-(2a+b)(a+b)=(2a+b)(4a+b)-(2a+b)(a+b)=8a^{2}+2ab+4ab+b^{2}-2a^{2}-2ab-ab-b^{2}=6a^{2}+3ab.$
(2)这两个建筑物的占地面积之差为$(5a^{2}+4ab)-(6a^{2}+3ab)=5a^{2}+4ab-6a^{2}-3ab=-a^{2}+ab.$
∵$0＜a＜b$,
∴$ab＞a^{2}$,
∴$-a^{2}+ab＞0$,
∴回字形福建土楼的占地面积更大,
∴①组同学的想法正确.

10 [运算能力]你可以求$(x - 1)(x^{2025} + x^{2024} + x^{2023} + … + x + 1)$的值吗?遇到这样的问题,我们可以先思考一下,从简单的情形入手,先分别计算下列各式的值:
①$(x - 1)(x + 1) = x^{2} - 1$;
②$(x - 1)(x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$;
③$(x - 1)(x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$;……
由此可以得到$(x - 1)(x^{2025} + x^{2024} + x^{2023} + … + x + 1) = $$x^{2026}-1$.
请你利用上面的结论,完成下面两题.
(1)计算$( - 2)^{99} + ( - 2)^{98} + ( - 2)^{97} + … + ( - 2) + 1$的值;
(2)若$x^{3} + x^{2} + x + 1 = 0$,求$x^{2025}$的值.

答案： 解:$x^{2026}-1$
(1)
∵$(x-1)(x^{99}+x^{98}+... +x+1)=x^{100}-1$,
∴当$x=-2$时,等式化为$(-2-1)[(-2)^{99}+(-2)^{98}+... +(-2)+1]=(-2)^{100}-1=2^{100}-1$,
∴$(-2)^{99}+(-2)^{98}+... +(-2)+1=\frac {1-2^{100}}{3}.$
(2)
∵$(x-1)(x^{3}+x^{2}+x+1)=x^{4}-1$,$x^{3}+x^{2}+x+1=0$,
∴$x^{4}=1$,
∴$x=\pm 1$.
∵$x^{3}+x^{2}+x+1=0$,
∴$x=-1$,
∴$x^{2025}=-1$.