《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

1 如图是一个长方体包装盒,高为 5 cm,底面是正方形,边长为 6 cm. 现需用绳子装饰,绳子从 A 处出发,沿长方体表面绕到 C 处,则绳子的最短长度是( )

A.10 cm
B.11 cm
C.12 cm
D.13 cm

答案：
D 如图,将长方体右边的表面翻折90°展开,连接AC,根据“两点之间线段最短”可得,点A到点C的距离为最短距离,即线段AC的长.根据勾股定理,得AC=$\sqrt{5^{2}+(6+6)^{2}}$=13,
∴绳子的最短长度为13 cm.

2 如图,一个三棱柱盒子底面的三边长分别为 3 cm,4 cm,5 cm,盒子的高为 9 cm,一只蚂蚁想从盒底的点 A 处沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点 B 处,蚂蚁要爬行的最短路程是______cm.

答案：
15 该三棱柱的侧面展开图如图所示,连接AB.
∵AA'=3+4+5=12(cm),A'B=9 cm,∠AA'B=90°,
∴AB=$\sqrt{AA'^{2}+A'B^{2}}$=$\sqrt{12^{2}+9^{2}}$=15(cm).

3 教材 P133 例 1 变式 [2025 吉安期末] 一只螳螂在一圆柱形松树树干的 A 处,发现它的正上方 B 处有一只虫子,螳螂想捕到这只虫子,但又怕被发现,于是按如图所示的路线,绕到虫子后面吃掉它. 已知树干横截面的周长为 20 cm,A,B 两点之间的距离为 15 cm. 若螳螂想吃掉在 B 处的虫子,求螳螂绕行的最短路程.

答案：
解:如图,把该树干抽象成圆柱,沿直线AB将它剪开后展开,连接AB,则AB即所求的最短距离.
根据题意,得BA'=15 cm,AA'=20 cm.
在Rt△AA'B中,根据勾股定理,得
AB=$\sqrt{AA'^{2}+BA'^{2}}$=$\sqrt{20^{2}+15^{2}}$=25(cm),
∴螳螂绕行的最短路程是25 cm.

4 新趋势·数学文化 [2025 扬州期末] 我国古代数学名著《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起,踏板一尺离地. 送行二步与人齐,五尺人高曾记. 仕女家人争蹴,良工高士素好奇. 算出索长有几？”该问题可译为“有一架秋千(如图 1),当它静止时,踏板到地面的距离 DE 为 1 尺,如图 2,将它向前水平推送 10 尺,即 BC = 10 尺,踏板到地面的距离 BF 和身高 5 尺的人一样,秋千的绳索始终处于拉直状态,则绳索长为______尺.”

14.5

答案： 14.5 根据题意,得CE=BF=5尺,DE=1尺,
∴CD=5 - 1=4(尺).设AD=AB=x,则AC=(x - 4)尺.根据勾股定理,得10²+(x - 4)²=x²,解得x=14.5,
∴绳索AD的长为14.5尺

5 如图 1 是梦想科技小组在实践课上制作的机器人零件,该零件内有两个由一根连杆连接的小滑块 A,B,分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动. 如图 2,开始时,滑块 A 到点 O 的距离是 20 cm,滑块 B 到点 O 的距离是 15 cm. 当滑块 A 向下滑动 13 cm 至点 A'时,滑块 B 滑动到点 B',求 BB'的长.

答案： 解:在Rt△ABO中,
∠AOB=90°,AO=20 cm,OB=15 cm,
根据勾股定理得,
AB=$\sqrt{AO^{2}+OB^{2}}$=$\sqrt{20^{2}+15^{2}}$=25(cm).
在Rt△A'OB'中,
A'O=AO - AA'=20 - 13=7(cm),
根据勾股定理得,
OB'=$\sqrt{A'B'^{2}-A'O^{2}}$=$\sqrt{25^{2}-7^{2}}$=24(cm),
∴BB'=OB'-OB=24 - 15=9(cm).