《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

8. 已知$m$为奇数,$n$为偶数,则下列各式计算正确的是 (D)
A.$(-3)^{2}\cdot(-3)^{m}= 3^{m + 2}$
B.$(-2)^{3}\cdot(-2)^{m}= -2^{m + 3}$
C.$(-4)^{4}\cdot(-4)^{n}= -4^{n + 4}$
D.$(-5)^{5}\cdot(-5)^{n}= -5^{n + 5}$

答案： (-3)²·(-3)ᵐ=(-3)ᵐ⁺²,
∵m为奇数,
∴m+2为奇数,
∴(-3)ᵐ⁺²=-3ᵐ⁺²,故A选项错误;(-2)³·(-2)ᵐ=(-2)ᵐ⁺³,
∵m为奇数,
∴m+3为偶数,
∴(-2)ᵐ⁺³=2ᵐ⁺³,故B选项错误;(-4)⁴·(-4)ⁿ=(-4)ⁿ⁺⁴,
∵n为偶数,
∴n+4为偶数,
∴(-4)ⁿ⁺⁴=4ⁿ⁺⁴,故C选项错误;(-5)⁵·(-5)ⁿ=(-5)ⁿ⁺⁵,
∵n为偶数,
∴n+5为奇数,
∴(-5)ⁿ⁺⁵=-5ⁿ⁺⁵,故D选项正确.

9. [新考法 [2025沧州模拟] 如图,在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个,先从甲袋中取出$2^{x}$个球放入乙袋,再从乙袋中取出$(2^{x}+2^{y})$个球放入丙袋,最后从丙袋中取出$2^{y}$个球放入甲袋,此时三只袋中球的个数相同,则$2^{x + y}$的值等于 (128)
(图中为一个三角形结构,丙袋有5个球,甲袋有29个球,乙袋有29个球,丙袋到甲袋箭头标注$2^{y}$,甲袋到乙袋箭头标注$2^{x}$,乙袋到丙袋箭头标注$2^{x}+2^{y}$)
A.128
B.64
C.32
D.16

答案： 解题思路:先用含x,y的式子表示出调整后每个袋子中球的个数,再根据球的总个数求出每个袋子中球的个数,进而列等式求解. 调整后,甲袋中有(29-2ˣ+2ʸ)个球,乙袋中有29+2ˣ-(2ˣ+2ʸ)=(29-2ʸ)个球,丙袋中有5+2ˣ+2ʸ-2ʸ=(5+2ˣ)个球.
∵共有29+29+5=63个球,且调整后三只袋中球的个数相同,
∴调整后每只袋中有63÷3=21个球,
∴5+2ˣ=21,29-2ʸ=21,
∴2ˣ=16,2ʸ=8,
∴2ˣ⁺ʸ=2ˣ·2ʸ=16×8=128.

10. 按一定规律排列的一列数$2^{1}$,$2^{2}$,$2^{3}$,$2^{5}$,$2^{8}$,$2^{13}$,…,若$x$,$y$,$z$表示这列数中的三个连续的数,猜想$x$,$y$,$z$之间的数量关系：xy=z.

答案： xy=z
∵2¹×2²=2³,2²×2³=2⁵,2³×2⁵=2⁸,2⁵×2⁸=2¹³,…,
∴x,y,z之间的数量关系是xy=z.

11. 若$a + b + c - 1 = 0$,求$(-2)^{a - 1}×(-2)^{2b + 2}×(-2)^{a + 2c}$的值.

答案： 解:根据题意,得a+b+c=1,
∴(-2)ᵃ⁻¹×(-2)²ᵇ⁺²×(-2)ᵃ⁺²ᶜ=(-2)ᵃ⁻¹⁺²ᵇ⁺²⁺ᵃ⁺²ᶜ=(-2)²ᵃ⁺²ᵇ⁺²ᶜ⁺¹=(-2)²⁽ᵃ⁺ᵇ⁺ᶜ⁾⁺¹(整体代入)=(-2)²ˣ¹⁺¹=(-2)³=-8.

12. 规定$a*b = 3^{a}×3^{b}$,如$2*3 = 3^{2}×3^{3}$.
(1)$1*2$的值为27；
(2)若$2*(x + 1)= 81$,求$x$的值.

答案：
(1)27 根据题意,得1*2=3¹×3²=3×9=27.
(2)
∵2*(x+1)=81,
∴3²×3ˣ⁺¹=3⁴,
∴2+x+1=4,解得x=1.

13. 已知$(a + b)^{a}\cdot(b + a)^{b}= (a + b)^{5}$,且$(a - b)^{a + 4}\cdot(a - b)^{4 - b}= (a - b)^{7}$,求$a^{a}b^{b}$的值.

答案： 解:根据题意,得(a+b)ᵃ⁺ᵇ=(a+b)⁵,(a-b)ᵃ⁻ᵇ⁺⁸=(a-b)⁷,
∴{a+b=5,a-b=-1,解得{a=2,b=3,
∴aᵃbᵇ=2²×3³=4×27=108.

14. [新趋势·代数推理] 已知$3^{m}+n$能被10整除,试说明$3^{m + 4}+n$也能被10整除.

答案： 解:3ᵐ⁺⁴+n=3⁴×3ᵐ+n=81×3ᵐ+n=80×3ᵐ+(3ᵐ+n).
∵3ᵐ+n能被10整除,80×3ᵐ能被10整除,
∴3ᵐ⁺⁴+n也能被10整除.

15. [运算能力] 观察以下等式：
$①2^{1}+2^{1}= 2×2^{1}= 2^{2}；$$②2^{2}+2^{2}= 2×2^{2}= 2^{3}；$$③2^{3}+2^{3}= 2×2^{3}= 2^{4}；$……(1)请写出第④个等式：$2^{4}+2^{4}=2×2^{4}=2^{5}$.(2)根据你发现的规律,用含字母n的式子表示第ⓝ个等式：$2^{n}+2^{n}=2^{n+1}$,并说明这个规律的正确性.
(3)由(2)中的规律,计算$2^{2025}-2^{2024}= $$2^{2024}$.(4)请你利用上述规律,计算：$2^{10}-2^{9}-2^{8}-2^{7}-… -2.$
$2^{10}-2^{9}-2^{8}-2^{7}-… -2=(2^{9}+2^{9})-2^{9}-2^{8}-2^{7}-… -2=2^{9}-2^{8}-2^{7}-… -2=(2^{8}+2^{8})-2^{8}-2^{7}-… -2=2^{8}-2^{7}-… -2=2^{7}-2^{6}-2^{5}-2^{4}-2^{3}-2^{2}-2=2^{6}-2^{5}-2^{4}-2^{3}-2^{2}-2=2^{5}-2^{4}-2^{3}-2^{2}-2=2^{4}-2^{3}-2^{2}-2=2^{3}-2^{2}-2=2^{2}-2=2$

答案：
(1)2⁴+2⁴=2×2⁴=2⁵
(2)2ⁿ+2ⁿ=2ⁿ⁺¹ 说明这个规律的正确性:
∵2ⁿ+2ⁿ=2×2ⁿ=2ⁿ⁺¹,
∴2ⁿ+2ⁿ=2ⁿ⁺¹.
(3)2²⁰²⁴ 2²⁰²⁵-2²⁰²⁴=2²⁰²⁴+2²⁰²⁴-2²⁰²⁴=2²⁰²⁴.
(4)2¹⁰-2⁹-2⁸-2⁷-…-2=(2⁹+2⁹)-2⁹-2⁸-2⁷-…-2=2⁹-2⁸-2⁷-…-2=(2⁸+2⁸)-2⁸-2⁷-…-2=2⁸-2⁷-…-2=2⁷-2⁶-2⁵-2⁴-2³-2²-2=2⁶-2⁵-2⁴-2³-2²-2=2⁵-2⁴-2³-2²-2=2⁴-2³-2²-2=2³-2²-2=2²-2=2.