《2025年长江作业本同步练习册七年级数学上册人教版》

8. 已知多项式 $A = 2x^{2}+my - 12$,$B = nx^{2}-3y + 6$。
(1) 若 $(m + 2)^{2}+|n - 3|= 0$,化简 $A - B$；
(2) 若 $A + B$ 的结果中不含有 $x^{2}$ 项以及 $y$ 项,求 $m + n + mn$ 的值。

答案：
(1)
由$(m + 2)^{2}+|n - 3|= 0$，因为$(m + 2)^{2}\geq0$，$\vert n - 3\vert\geq0$，所以$m + 2 = 0$，$n - 3 = 0$。
解得$m = - 2$，$n = 3$。
$A = 2x^{2}-2y - 12$，$B = 3x^{2}-3y + 6$。
$A - B=(2x^{2}-2y - 12)-(3x^{2}-3y + 6)$
$=2x^{2}-2y - 12 - 3x^{2}+3y - 6$
$=-x^{2}+y - 18$。
(2)
$A + B=(2x^{2}+my - 12)+(nx^{2}-3y + 6)$
$=(2 + n)x^{2}+(m - 3)y - 6$。
因为$A + B$的结果中不含有$x^{2}$项以及$y$项，所以$2 + n = 0$，$m - 3 = 0$。
解得$n = - 2$，$m = 3$。
$m + n + mn=3-2+3×(-2)=1 - 6=-5$。
综上，答案为
(1)$-x^{2}+y - 18$；
(2)$-5$。

9. 阅读材料,并回答下列问题。
对称式：一个含有多个字母的代数式中,如果任意交换两个字母的位置,代数式的值都不变,那么这样的代数式就叫作对称式。例如：代数式 $abc$ 中任意两个字母交换位置,可得到代数式 $bac$,$acb$,$cba$。$\because abc = bac = acb = cba$,$\therefore abc$ 是对称式；而代数式 $a - b$ 中字母 $a$,$b$ 交换位置,得到代数式 $b - a$,$\because a - b\neq b - a$,$\therefore a - b$ 不是对称式。
(1)①③ 下列三个代数式中,是对称式的是______(填序号)。
① $a + b + c$；② $a^{2}b$；③ $a^{2}+b^{2}$；
(2)$m^{3}n^{3}$ 写出一个只含有字母 $m$,$n$ 的单项式,该单项式是对称式,且次数为 6；
(3) 已知 $A = 3a^{2}+6b^{2}$,$B = a^{2}-2ab$,求 $A + 3B$,并直接判断所得结果是否为对称式。

答案：
(1)
①$a + b + c$，交换$a$与$b$，$b$与$c$，$a$与$c$的位置，代数式的值不变，所以$a + b + c$是对称式；
②$a^{2}b$，交换$a$与$b$的位置得到$b^{2}a$，$a^{2}b\neq b^{2}a$，所以$a^{2}b$不是对称式；
③$a^{2}+b^{2}$，交换$a$与$b$的位置，代数式的值不变，所以$a^{2}+b^{2}$是对称式。
故答案为：①③。
(2) $m^{3}n^{3}$（答案不唯一）。
(3)
$A + 3B=(3a^{2}+6b^{2})+3(a^{2}-2ab)$
$=3a^{2}+6b^{2}+3a^{2}-6ab$
$=6a^{2}-6ab + 6b^{2}$
因为交换$a$与$b$的位置得到$6b^{2}-6ba + 6a^{2}=6a^{2}-6ab + 6b^{2}$，所以$A + 3B$是对称式。