《2025年长江作业本同步练习册七年级数学上册人教版》

13. (1) 若$a = -\frac{1}{2}$,则$-a= $$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{a}= $$-2$。$a,-a,\frac{1}{a}$之间的大小关系为$\frac{1}{a} ＜ a ＜ -a$。
(2) 利用特殊值法,分别讨论在$a\lt -1,-1\lt a\lt 0,0\lt a\lt 1和a\gt 1$四种情况下,$a,-a,\frac{1}{a}$之间的大小关系。
当$a ＜ -1$时，取$a=-2$，则$-a=2$，$\frac{1}{a}=-\frac{1}{2}$，大小关系为$a ＜ \frac{1}{a} ＜ -a$；
当$-1 ＜ a ＜ 0$时，取$a=-\frac{1}{2}$，则$-a=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}=-2$，大小关系为$\frac{1}{a} ＜ a ＜ -a$；
当$0 ＜ a ＜ 1$时，取$a=\frac{1}{2}$，则$-a=-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}=2$，大小关系为$-a ＜ a ＜ \frac{1}{a}$；
当$a ＞ 1$时，取$a=2$，则$-a=-2$，$\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$，大小关系为$-a ＜ \frac{1}{a} ＜ a$。

答案：
(1) $\frac{1}{2}$；$-2$；$\frac{1}{a} ＜ a ＜ -a$
(2)
当$a ＜ -1$时，取$a=-2$，则$-a=2$，$\frac{1}{a}=-\frac{1}{2}$，大小关系为$a ＜ \frac{1}{a} ＜ -a$；
当$-1 ＜ a ＜ 0$时，取$a=-\frac{1}{2}$，则$-a=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}=-2$，大小关系为$\frac{1}{a} ＜ a ＜ -a$；
当$0 ＜ a ＜ 1$时，取$a=\frac{1}{2}$，则$-a=-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}=2$，大小关系为$-a ＜ a ＜ \frac{1}{a}$；
当$a ＞ 1$时，取$a=2$，则$-a=-2$，$\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$，大小关系为$-a ＜ \frac{1}{a} ＜ a$。

14. 已知$x,y$是有理数,现规定一种新运算※：$x※y = xy + 1$。
(1) 求$2※4$的值；
(2) 求$(1※4)※(-2)$的值；
(3) 任意选择两个有理数(至少有一个是负数),分别填入$□和◯$中,并比较$□※◯和◯※□$的运算结果；
(4) 探索$a※(b + c)与a※b + a※c$的大小关系,并用式子表达出来。

答案：
(1) $2※4 = 2×4 + 1 = 8 + 1 = 9$
(2) $1※4 = 1×4 + 1 = 5$，$5※(-2) = 5×(-2) + 1 = -10 + 1 = -9$
(3) 选择$-1$和$2$，$-1※2 = (-1)×2 + 1 = -1$，$2※(-1) = 2×(-1) + 1 = -1$，结果相等（答案不唯一，任意符合条件的有理数运算结果均相等）
(4) $a※(b + c) = a(b + c) + 1 = ab + ac + 1$，$a※b + a※c = (ab + 1) + (ac + 1) = ab + ac + 2$，$a※(b + c) = a※b + a※c - 1$

15. 现有一批水果,从中随机抽出样品$20$箱,检测每箱的质量是否符合标准。与标准质量相比,将超过或不足的部分分别用正、负数来表示,记录如表：
|与标准质量的差值$/kg$|$-0.5$|$-0.3$|$-0.2$| $0$ | $0.1$ | $0.4$ |
|袋数| $1$ | $4$ | $3$ | $4$ | $5$ | $3$ |

(1) 若与标准质量相比,差距在$0.25kg$以内都是合格的,求合格的箱数；
(2) 与标准质量相比,这批水果的总重量共计超过或不足多少千克？
(3) 若$20箱的标准质量为800kg$,该种水果进价为$5元/kg$,售价为$9元/kg$,则这批水果全部售出可获利多少元？

答案：
(1) $12$；
(2) 不足$0.6kg$；
(3) $3197.6$元。