《2025年长江作业本同步练习册七年级数学上册人教版》

10. 小明家的房屋平面结构如图,他打算把卧室以外的部分全部都铺上地砖。
(1) 请用含 $x$,$y$ 的代数式表示房屋地面的总面积；
(2) 如果 $x = 4 m$,$y = 3 m$,并且每平方米地砖的造价需要 $200$ 元,你能帮小明算算要准备多少钱吗？

答案： $(1)3x×4y+(4y-y)×x+y×y+y×(x+y)=16xy+2y^{2}$
$(2)2y^{2}+16xy-y×(x+y)=y^{2}+15xy$
代入x=4,y=3得原式=(3×3+15×4×3)×200=37800(元)

11. 有这样一道题：“当 $a = 2$,$b = -2$ 时,求多项式 $3a^{3}b^{3}-\frac{1}{2}a^{2}b + b - 4a^{3}b^{3}+\frac{1}{4}a^{2}b + b^{2}+a^{3}b^{3}+\frac{1}{4}a^{2}b - 2b^{2}+3$ 的值”。嘉嘉做题时把 $a = 2$ 抄成 $a = -2$,淇淇没有抄错题,但他们得到的结果却是一样的,你知道这是怎么回事吗？请说明理由。

答案： 解：原式化简如下：
$\begin{aligned}&3a^{3}b^{3}-\frac{1}{2}a^{2}b + b - 4a^{3}b^{3}+\frac{1}{4}a^{2}b + b^{2}+a^{3}b^{3}+\frac{1}{4}a^{2}b - 2b^{2}+3\\=&(3a^{3}b^{3}-4a^{3}b^{3}+a^{3}b^{3})+(-\frac{1}{2}a^{2}b+\frac{1}{4}a^{2}b+\frac{1}{4}a^{2}b)+(b^{2}-2b^{2})+b+3\\=&(3-4+1)a^{3}b^{3}+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4})a^{2}b+(1-2)b^{2}+b+3\\=&0a^{3}b^{3}+0a^{2}b+(-1)b^{2}+b+3\\=&-b^{2}+b+3\end{aligned}$
化简后多项式为$-b^{2}+b+3$，不含字母$a$，即多项式的值与$a$无关。
因为嘉嘉与淇淇所用$b=-2$相同，所以结果一样。

12. 我们知道 $3a - 2a + a= (3 - 2 + 1)a = 2a$,类似地,若我们把 $(a + b)$ 看成一个整体,则 $3(a + b)-2(a + b)+(a + b)= (3 - 2 + 1)(a + b)= 2(a + b)$。我们称这种解题方法为“整体思想”。
(1) 把 $(a - b)^{2}$ 看成一个整体,合并 $3(a - b)^{2}-4(a - b)^{2}+2(a - b)^{2}= $$(a - b)^{2}$；
(2) 已知 $x^{2}-2y = 4$,求 $3x^{2}-6y - 15$ 的值；
$-3$
(3) 已知 $a - 5b = 3$,$5b - 3c = -5$,$3c - d = 10$,求 $a - 3c + 5b - d - 5b + 3c$ 的值。
$8$

答案：
(1)
根据整体思想，把$(a - b)^{2}$看成一个整体，对$3(a - b)^{2}-4(a - b)^{2}+2(a - b)^{2}$合并同类项：
$3(a - b)^{2}-4(a - b)^{2}+2(a - b)^{2}=(3 - 4 + 2)(a - b)^{2}= (a - b)^{2}$
(2)
因为$x^{2}-2y = 4$，对$3x^{2}-6y - 15$变形可得：
$3x^{2}-6y - 15 = 3(x^{2}-2y)-15$
把$x^{2}-2y = 4$代入上式得：
$3×4-15=12 - 15=-3$
(3)
对$a - 3c + 5b - d - 5b + 3c$进行化简：
$a - 3c + 5b - d - 5b + 3c=a - d$
由$a - 5b = 3$，$5b - 3c = -5$，$3c - d = 10$，
将三个式子相加可得：
$(a - 5b)+(5b - 3c)+(3c - d)=a - d=3+( - 5)+10 = 8$
综上，答案依次为：
(1)$(a - b)^{2}$；
(2)$-3$；
(3)$8$。