《2025年长江作业本同步练习册七年级数学上册人教版》

11. 如图是一个工件的横断面,它由两个长方形拼接而成。
(1) 请用代数式表示横断面的面积(至少用两种不同的方法)；
(2) 请你选取一组合适的$a$,$b$的值带入(1)中各代数式,计算并验证(1)中各代数式的值是否相等。

答案：
(1) 方法一：$S = a^{2} - (a - b)(a - b)=a^{2}-(a - b)^{2}$（或$S = a^{2}-(a^{2}-2ab + b^{2}) = 2ab - b^{2}$）；
方法二：$S = 2b\cdot a - b^{2}$（或$S = 2ab - b^{2}$）；
方法三：$S = b\cdot a+(a - b)b + b^{2}=ab - b^{2}+ab - b^{2}+b^{2}=2ab - b^{2}$；
(2) 当$a = 3$，$b = 1$时，
对于$S = 2ab - b^{2}$，$2×3×1 - 1^{2}=6 - 1 = 5$；
对于$S = a^{2}-(a - b)^{2}$，$3^{2}-(3 - 1)^{2}=9 - 4 = 5$；
对于$S = 2b\cdot a - b^{2}$，$2×1×3-1^{2}=5$。
经计算，各代数式的值相等。

12. 蒲纹是中国玉器上的一种常见纹饰,来源于蒲席的纹样,寓意草木繁茂、欣欣向荣。下图是一组蒲纹纹样,它由若干个三角形和六边形有规律地排列而成。
(1) 图①②③中各有多少个六边形,多少个三角形？
(2) 若按此规律继续绘制蒲纹,当纹样中有$n$个六边形时,三角形有多少个？
(3) 请你参考蒲纹的设计方式,将三角形、六边形按一定规律排列,设计出一种新的纹样。当纹样中有$n$个六边形时,三角形有多少个？

答案： 1. （1）
观察图①：
六边形个数：$1$个；三角形个数：$6 = 4×1 + 2$个。
观察图②：
六边形个数：$2$个；三角形个数：$10=4×2 + 2$个。
观察图③：
六边形个数：$3$个；三角形个数：$14 = 4×3+2$个。
2. （2）
解：设六边形个数为$n$，通过（1）中规律，设三角形个数为$y$。
当$n = 1$时，$y=4×1 + 2$；当$n = 2$时，$y = 4×2+2$；当$n = 3$时，$y=4×3 + 2$。
所以当纹样中有$n$个六边形时，三角形个数$y = 4n+2$（$n$为正整数）。
3. （3）
设计：第一个六边形周围有$6$个三角形，每增加一个六边形，增加$5$个三角形（答案不唯一）。
解：设六边形个数为$n$，三角形个数为$y$。
当$n = 1$时，$y = 6$；当$n = 2$时，$y=6 + 5=5×2+1$；当$n = 3$时，$y=6+5×2=5×3 + 1$。
所以当纹样中有$n$个六边形时，三角形个数$y = 5n+1$（$n$为正整数）。
综上，（1）图①：$1$个六边形，$6$个三角形；图②：$2$个六边形，$10$个三角形；图③：$3$个六边形，$14$个三角形。（2）$4n + 2$个。（3）答案不唯一，如$5n + 1$个。