《2025年长江作业本同步练习册七年级数学上册人教版》

8. 已知$|a| = 3,b^{2}= 4,a\lt b$,则$a + b= $$-1$或$-5$（或写成$-5$或$-1$）。

答案： $-1$或$-5$（或写成$-5$或$-1$）

9. 平方等于它本身的数是0,1,即$a^{2}= a$,则$a= $0或1；立方等于它本身的数是-1,0,1,即$a^{3}= a$,则$a= $-1,0或1；平方等于立方的数是0,1。

答案： 平方等于它本身的数是$0,1$，即$a^2 = a$，则$a = 0$或$1$；
立方等于它本身的数是$-1,0,1$，即$a^3 = a$，则$a = -1,0$或$1$；
平方等于立方的数是$0,1$。

10. 设$n$是正整数,则$\frac{(-1)^{n}+(-1)^{n + 2}}{2}$的值为$(-1)^{n}$。

答案： 1. 当$n$为偶数时：
因为$n$为偶数，根据$(-1)^{k}=1$（$k$为偶数），$(-1)^{m}=-1$（$m$为奇数），则$(-1)^{n}=1$，$n + 2$也是偶数（因为$n+2=n+(2)$，$2$是偶数，偶数加偶数为偶数），所以$(-1)^{n + 2}=1$。
那么$\frac{(-1)^{n}+(-1)^{n + 2}}{2}=\frac{1 + 1}{2}$。
计算$\frac{1 + 1}{2}=\frac{2}{2}=1$。
2. 当$n$为奇数时：
因为$n$为奇数，所以$(-1)^{n}=-1$，$n + 2$是奇数（因为$n+2=n+(2)$，奇数加偶数为奇数），则$(-1)^{n + 2}=-1$。
那么$\frac{(-1)^{n}+(-1)^{n + 2}}{2}=\frac{-1+( - 1)}{2}$。
计算$\frac{-1+( - 1)}{2}=\frac{-2}{2}=-1$。
综上，$\frac{(-1)^{n}+(-1)^{n + 2}}{2}=(-1)^{n}$。
故答案为$(-1)^{n}$。

11. 《庄子·天下》中记载：“一尺之锤,日取其半,万世不竭。”这句话的意思是一尺长的木棍,每天截取它的一半,永远也截不完。若按此方式截一根长为1的木棍,第4天截取后木棍剩余的长度是$\frac{1}{16}$。

答案： $\frac{1}{16}$

12. 已知$(a + 2)^{2}与|b - 3|$互为相反数,求$a^{b}$的值。

答案： $-8$

13. 计算：$2^{1}-1 = 1,2^{2}-1 = 3,2^{3}-1 = 7,2^{4}-1 = 15,2^{5}-1 = 31,…$。归纳各计算结果中个位的数字规律,猜测$2^{888}-1$的个位数字是5。

答案： 5

14. 你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条,把两头捏合在一起拉伸,再捏合,再拉伸,反复几次,就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条,如图所示。这样捏合到第7次后可拉出128根面条。

答案： $7$

15. (1)根据乘方的定义计算：
①$3^{2}×5^{2}=$225,$(3×5)^{2}=$225；
②$(-2)^{3}×5^{3}=$-1000,$[(-2)×5]^{3}=$-1000。
(2)根据(1)中的计算结果猜想：$a^{n}·b^{n}=$$(ab)^{n}$。
(3)利用(2)中结论计算：①$(-4)^{2025}×0.25^{2025}$；②$(\frac{21}{26})^{4}×(\frac{13}{7})^{4}×(\frac{2}{3})^{3}$。
①$(-4)^{2025}×0.25^{2025}=(-4×0.25)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$；
②$(\frac{21}{26})^{4}×(\frac{13}{7})^{4}×(\frac{2}{3})^{3}=(\frac{21}{26}×\frac{13}{7})^{4}×(\frac{2}{3})^{3}=(\frac{3}{2})^{4}×(\frac{2}{3})^{3}=\frac{3}{2}×(\frac{3}{2}×\frac{2}{3})^{3}=\frac{3}{2}×1^{3}=\frac{3}{2}$。

答案：
(1)①$3^{2}×5^{2}=9×25=225$，$(3×5)^{2}=15^{2}=225$；
②$(-2)^{3}×5^{3}=(-8)×125=-1000$，$[(-2)×5]^{3}=(-10)^{3}=-1000$。
(2)$(ab)^{n}$
(3)①$(-4)^{2025}×0.25^{2025}=(-4×0.25)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$；
②$(\frac{21}{26})^{4}×(\frac{13}{7})^{4}×(\frac{2}{3})^{3}=(\frac{21}{26}×\frac{13}{7})^{4}×(\frac{2}{3})^{3}=(\frac{3}{2})^{4}×(\frac{2}{3})^{3}=\frac{3}{2}×(\frac{3}{2}×\frac{2}{3})^{3}=\frac{3}{2}×1^{3}=\frac{3}{2}$。