《2025年长江作业本同步练习册七年级数学上册人教版》

6. 在小型机中引入了八进制,八进制只要八个数码：$0$,$1$,$2$,$3$,$4$,$5$,$6$,$7$。十进制数$124 = 64 + 56 + 4 = 1×8^2 + 7×8^1 + 4$,即等于八进制数$(174)_8$,那么,十进制数$668$等于八进制数______。
【探究】
$(1234)_8$

答案： 1. 确定8的最高次方：$8^3 = 512$，$8^4 = 4096 ＞ 668$，最高次方为3。
2. 计算各数位系数：
$668 ÷ 512 = 1$，余数$668 - 1×512 = 156$；
$156 ÷ 64 = 2$（$8^2 = 64$），余数$156 - 2×64 = 28$；
$28 ÷ 8 = 3$（$8^1 = 8$），余数$28 - 3×8 = 4$；
$4 ÷ 1 = 4$（$8^0 = 1$），余数$0$。
3. 组合系数得八进制数：$1×8^3 + 2×8^2 + 3×8^1 + 4×8^0 = (1234)_8$。
(1234)_8

7. 以二进制形式进行计算：
(1) $(10011)_2 + (100011)_2$；
(2) $(1011011)_2 - (1010)_2$。

答案：
(1)
10011
+100011
--------
110110
(10011)₂ +
(100011)₂ =
(110110)₂
(2)
1011011
1010
--------
1010001
(1011011)₂ -
(1010)₂ =
(1010001)₂

8. 在电子计算机中用的二进制,只要两个数码$0$,$1$,如二进制中$(110)_2 = 1×2^2 + 1×2^1 + 0等于十进制数6$,$(11010)_2 = 1×2^5 + 1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1等于十进制数53$。
(1) 二进制数$(1101)_2$等于十进制数______；十进制数为$35$,它所对应的二进制数为______；
(2) 若一个五位的二进制数为$x$,求$x$所对应的十进制数的取值范围。

 

答案： $(1)$
- 二进制数$(1101)_2$转换为十进制数：
根据二进制转十进制公式$a_{n}2^{n}+a_{n - 1}2^{n - 1}+\cdots+a_{1}2^{1}+a_{0}2^{0}$（其中$a_{i}$为二进制位上的数字）。
对于$(1101)_2$，$n = 3$，$a_{3}=1$，$a_{2}=1$，$a_{1}=0$，$a_{0}=1$，则$(1101)_2=1×2^{3}+1×2^{2}+0×2^{1}+1×2^{0}=8 + 4+0 + 1=13$。
十进制数$35$转换为二进制数：
用除$2$取余法：
$35÷2 = 17\cdots\cdots1$；
$17÷2 = 8\cdots\cdots1$；
$8÷2 = 4\cdots\cdots0$；
$4÷2 = 2\cdots\cdots0$；
$2÷2 = 1\cdots\cdots0$；
$1÷2 = 0\cdots\cdots1$；
从下往上取余数得$(100011)_2$。
$(2)$
解：五位二进制数$x$，最小的五位二进制数是$(10000)_2$，最大的五位二进制数是$(11111)_2$。
计算$(10000)_2$对应的十进制数：
根据公式$(10000)_2=1×2^{4}+0×2^{3}+0×2^{2}+0×2^{1}+0×2^{0}=16$。
计算$(11111)_2$对应的十进制数：
$(11111)_2=1×2^{4}+1×2^{3}+1×2^{2}+1×2^{1}+1×2^{0}=16 + 8+4 + 2+1=31$。
所以$x$所对应的十进制数的取值范围是$16\leqslant$十进制数$\leqslant31$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{13}$；$\boldsymbol{(100011)_2}$；$(2)$$\boldsymbol{16\leqslant}$十进制数$\boldsymbol{\leqslant31}$。

9. 计算机中常用的八进制是逢$8进1$的计数制,采用数字$0 ～ 7$,共$8$个计数符号。
(1) 填写换算关系表：
|十进制|$0$|$1$|$2$|$3$|$4$|$5$|$6$|$7$|$8$|$9$|$10$|$11$|$12$|$13$|$14$|$15$|$16$|…$$|
|八进制|$0$|$1$|$2$|$3$|$4$|5|6|7|10|11|12|13|14|15|16|17|20|…$$|

(2) 类比二进制,八进制数同样能进行加减计算,如$(13)_8 + (6)_8 = (21)_8$。完成下列计算：
① $(2765)_8 + (465)_8$；
② $(7426)_8 - (4755)_8$。
(2)①$(3452)_8$；②$(2451)_8$

答案：
(1)
|十进制|0|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11|12|13|14|15|16|…|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|八进制|0|1|2|3|4|5|6|7|10|11|12|13|14|15|16|17|20|…|
(2)
①
$(2765)_8+(465)_8$
个位：$5 + 5=10$，$10÷8 = 1\cdots\cdots2$，个位写$2$，向十位进$1$；
十位：$6 + 6 + 1 = 13+1（进位）=13（原和）+1 = 14$（这里原十位相加$6+6$，再加上个位进位$1$），$14÷8 = 1\cdots\cdots6$，十位写$6$，向百位进$1$；
百位：$7+4 + 1=12$，$12÷8 = 1\cdots\cdots4$，百位写$4$，向千位进$1$；
千位：$2+0 + 1=3$，千位写$3$。
所以$(2765)_8+(465)_8=(3452)_8$。
②
$(7426)_8-(4755)_8$
个位：$6 - 5 = 1$，个位为$1$；
十位：$2＜5$，从百位借$1$当$8$，$12 - 5 = 7$，十位为$7$；
百位：被借走$1$后为$4 - 1 = 3$，$3＜7$，从千位借$1$当$8$，$13 - 7 = 6$，百位为$6$；
千位：被借走$1$后$7 - 1 - 4 = 2$，千位为$2$。
所以$(7426)_8-(4755)_8=(2451)_8$。
综上，答案依次为：
(1)从左到右依次填$5$、$6$、$7$、$10$、$12$、$13$、$14$、$15$、$16$、$20$；
(2)①$(3452)_8$；②$(2451)_8$。