《2025年同步测控优化设计九年级数学全一册人教版福建专版》

4. 某中学组织学生到商场参加社会实践活动,他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作,已知该运动鞋每双的进价为 $ 120 $ 元. 为寻求合适的销售价格,他们进行了 $ 4 $ 天的试销,试销情况如下表所示：
| 时间 | 第 1 天 | 第 2 天 | 第 3 天 | 第 4 天 |
| 售价 $ x $/元 | $ 150 $ | $ 200 $ | $ 250 $ | $ 300 $ |
| 销售量 $ y $/双 | $ 40 $ | $ 30 $ | $ 24 $ | $ 20 $ |

(1)观察表中数据 $ x $,$ y $ 满足什么函数关系？请求出这个函数的解析式；
(2)若商场计划每天的销售利润为 $ 3000 $ 元,则其单价应定为多少元？

答案： 解
(1)由表中数据可得$xy=6000$，所以$x$与$y$满足反比例函数关系，所求函数解析式是$y=\frac{6000}{x}$.
(2)由题意，得$(x−120)y=3000$，将$y=\frac{6000}{x}$代入，可得$(x−120)\cdot\frac{6000}{x}=3000$，解得$x=240$.
　　　经检验，$x=240$是原方程的解.
　　　答:若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元.

1. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以 $ 80km/h $ 的平均速度用了 $ 4 $ 小时到达乙地,当他按原路匀速返回时,汽车的速度 $ v $(单位：$ km/h $)与时间 $ t $(单位：$ h $)的函数解析式是( )

A.$ v = 320t $
B.$ v = \frac{320}{t} $
C.$ v = 20t $
D.$ v = \frac{20}{t} $

答案： B　由题意知$vt=80×4$，则$v=\frac{320}{t}$.

2. 如图,在矩形 $ ABCD $ 中,$ AB = 3 $,$ BC = 4 $,点 $ P $ 在 $ BC $ 边上运动,连接 $ DP $,过点 $ A $ 作 $ AE \perp DP $,垂足为 $ E $,设 $ DP = x $,$ AE = y $,则能反映 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系的图象是( )

答案：
C　　连接$AP$(如图)，$S_{\triangle APD}=\frac{1}{2}AD\cdot AB=\frac{1}{2}AE\cdot PD=6$，所以$xy=12$，$y=\frac{12}{x}$.
　　　　　　　　　　　　　　　
又$3\leqslant DP\leqslant5$，所以其大致图象为选项C.

★3. 教室里的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热时每分钟上升 $ 10^{\circ}C $,加热到 $ 100^{\circ}C $ 后停止加热,水温开始下降,此时水温(单位：$ ^{\circ}C $)与开机后用时(单位：$ min $)成反比例关系,直至水温降至 $ 30^{\circ}C $,饮水机重新开始加热,重复上述过程. 若在水温为 $ 30^{\circ}C $ 时,接通电源后,水温 $ y $(单位：$ ^{\circ}C $)和时间 $ x $(单位：$ min $)的关系如图所示,为了在上午第一节下课时($ 8:45 $)能喝到不超过 $ 50^{\circ}C $ 的水,则接通电源的时间可以是当天上午的( )

A.$ 7:20 $
B.$ 7:30 $
C.$ 7:45 $
D.$ 7:50 $

答案：
A　由于开机加热时每分钟上升$10\ °C$，故从$30\ °C$到$100\ °C$需要7min.设一次函数解析式为$y=k_1x+b(k_1\neq0)$，将$(0,30)$，$(7,100)$代入$y=k_1x+b$，解得$k_1=10$，$b=30$，所以$y=10x+30(0\leqslant x\leqslant7)$.当$y=50$时，$x=2$.设反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$，将$(7,100)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=700$.当$y=30$时，$x=\frac{70}{3}$.所以$y=\frac{700}{x}(7\leqslant x\leqslant\frac{70}{3})$.当$y=50$时，$x=14$，如图所示.
　　　　　　　　　　　　
所以饮水机的一个循环周期为$\frac{70}{3}\ min$，每一个循环周期内，在$0\leqslant x\leqslant2$及$14\leqslant x\leqslant\frac{70}{3}$时间段内，水温不超过$50\ °C$，可直接饮用.
　　　对于选项A，$7:20~8:45$之间有85min，$85-\frac{70}{3}×3=15$，即饮水机位于第4次重复开机后的第15min，此时水温不超过$50\ °C$，可直接饮用，符合题意.
　　　综上分析，可知选项B、C、D不符合题意，因此应选A.

4. 如图,边长为 $ 4 $ 的正方形 $ ABCD $ 的对称中心是坐标原点 $ O $,$ AB // x $ 轴,$ BC // y $ 轴,反比例函数 $ y = \frac{2}{x} $ 与 $ y = -\frac{2}{x} $ 的图象均与正方形 $ ABCD $ 的边相交,则图中阴影部分的面积之和是______.

答案： 8　观察题图，看出阴影部分的面积是正方形$ABCD$的面积的一半.正方形$ABCD$的面积为16，所以阴影部分的面积之和为8.