《2025年同步测控优化设计九年级数学全一册人教版福建专版》

6. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+mx - 1 = 0$ 的一个根是 $\sqrt{2}-1$,求其另一个根及 $m$ 的值.

答案： 解 设方程的一个根为$x_{1}=\sqrt{2}-1$,另一个根为$x_{2}$,由根与系数的关系,得$\begin{cases} \sqrt{2}-1+x_{2}=-m, \\ (\sqrt{2}-1)x_{2}=-1, \end{cases}$解得$\begin{cases} x_{2}=-\sqrt{2}-1, \\ m=2. \end{cases}$故另一个根为$-\sqrt{2}-1$,$m$的值为2.

1. 若关于 $x$ 的方程 $2x^{2}+mx + n = 0$ 的两个根分别为 $-2$ 和 $1$,则 $n^{m}$ 的值为( )

A.$-8$
B.$8$
C.$16$
D.$-16$

答案： C 因为关于$x$的方程$2x^{2}+mx + n = 0$的两个根是$-2$和$1$,所以$-\dfrac{m}{2}=-1$,$\dfrac{n}{2}=-2$,所以$m=2$,$n=-4$,所以$n^{m}=(-4)^{2}=16$.故选C.

2. 若 $x_{1},x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-2mx + m^{2}-m - 1 = 0$ 的两个实数根,且 $x_{1}+x_{2}= 1 - x_{1}x_{2}$,则 $m$ 的值为( )

A.$-1$ 或 $2$
B.$1$ 或 $-2$
C.$-2$
D.$1$

答案： D $x_{1},x_{2}$是关于$x$的方程$x^{2}-2mx + m^{2}-m - 1 = 0$的两个实数根,$x_{1}+x_{2}=2m$,$x_{1}x_{2}=m^{2}-m - 1$.
$\because x_{1}+x_{2}= 1 - x_{1}x_{2}$,
$\therefore 2m=1-(m^{2}-m - 1)$,即$m^{2}+m - 2=(m + 2)\cdot(m - 1)=0$,解得$m_{1}=-2$,$m_{2}=1$.
由关于$x$的方程$x^{2}-2mx + m^{2}-m - 1 = 0$有实数根,得$\Delta=(-2m)^{2}-4(m^{2}-m - 1)=4m + 4\geqslant0$,解得$m\geqslant-1$.
故$m=1$.故选D.

3. 若 $\alpha,\beta$ 为方程 $2x^{2}-5x - 1 = 0$ 的两个实数根,则 $2\alpha^{2}+3\alpha\beta+5\beta$ 的值为( )

A.$-13$
B.$12$
C.$14$
D.$15$

答案： B 因为$\alpha$为$2x^{2}-5x - 1 = 0$的实数根,所以$2\alpha^{2}-5\alpha - 1 = 0$,即$2\alpha^{2}=5\alpha + 1$,所以$2\alpha^{2}+3\alpha\beta + 5\beta=5\alpha + 1 + 3\alpha\beta + 5\beta=5(\alpha+\beta)+3\alpha\beta + 1$.
因为$\alpha,\beta$为方程$2x^{2}-5x - 1 = 0$的两个实数根,所以$\alpha+\beta=\dfrac{5}{2}$,$\alpha\beta=-\dfrac{1}{2}$,所以$2\alpha^{2}+3\alpha\beta + 5\beta=5×\dfrac{5}{2}+3×\left(-\dfrac{1}{2}\right)+1=12$.故选B.

4. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-(a + b)x + ab - 1 = 0$,$x_{1},x_{2}$ 是此方程的两个实数根,现给出三个结论：① $x_{1}\neq x_{2}$；② $x_{1}x_{2}\lt ab$；③ $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\lt a^{2}+b^{2}$. 则正确结论的序号是____.

答案： ①② $\Delta=(a + b)^{2}-4(ab - 1)=a^{2}+b^{2}-2ab + 4=(a - b)^{2}+4＞0$,则①成立;
$\because x_{1}x_{2}=ab - 1$,$x_{1}+x_{2}=a + b$,
$\therefore x_{1}x_{2}=ab - 1＜ab$,②成立;
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=(a + b)^{2}-2(ab - 1)=a^{2}+b^{2}+2＞a^{2}+b^{2}$,③不成立.

5. 在解关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+bx + c = 0$ 时,小明看错了一次项系数 $b$,得到的解为 $x_{1}= -2$,$x_{2}= -3$；小刚看错了常数项 $c$,得到的解为 $x_{1}= 1$,$x_{2}= 4$. 则正确的一元二次方程为____.

答案： $x^{2}-5x + 6 = 0$

6. 已知 $x_{1},x_{2}$ 为方程 $x^{2}+3x + 1 = 0$ 的两个实数根,则 $x_{1}^{3}+8x_{2}+20= $____.

答案： -1 由$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}+3x + 1 = 0$的两个实数根,可知$x_{1}+x_{2}=-3$,$x_{1}^{2}+3x_{1}+1 = 0$,即$x_{1}^{2}=-3x_{1}-1$.因此$x_{1}^{3}+8x_{2}+20=x_{1}^{2}\cdot x_{1}+8x_{2}+20=(-3x_{1}-1)x_{1}+8x_{2}+20=-3x_{1}^{2}-x_{1}+8x_{2}+20=9x_{1}+3 - x_{1}+8x_{2}+20=8x_{1}+8x_{2}+23=-24 + 23=-1$.

7. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}+(2k - 1)x + k^{2}-1 = 0$ 有两个实数根 $x_{1},x_{2}$.
(1)求实数 $k$ 的取值范围；
(2)若 $x_{1},x_{2}$ 满足 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 16 + x_{1}x_{2}$,求实数 $k$ 的值.

答案： 解
(1)因为关于$x$的方程$x^{2}+(2k - 1)x + k^{2}-1 = 0$有两个实数根$x_{1},x_{2}$,所以$\Delta=(2k - 1)^{2}-4(k^{2}-1)=-4k + 5\geqslant0$,解得$k\leqslant\dfrac{5}{4}$,所以实数$k$的取值范围为$k\leqslant\dfrac{5}{4}$.
(2)因为关于$x$的方程$x^{2}+(2k - 1)x + k^{2}-1 = 0$有两个实数根$x_{1},x_{2}$,所以$x_{1}+x_{2}=1 - 2k$,$x_{1}x_{2}=k^{2}-1$.因为$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=16 + x_{1}x_{2}$,所以$(1 - 2k)^{2}-2(k^{2}-1)=16 + (k^{2}-1)$,即$k^{2}-4k - 12 = 0$,解得$k=-2$或$k=6$(不符合题意,舍去).故实数$k$的值为$-2$.

★8. 若实数 $x_{1},x_{2}$ 满足 $x_{1}^{2}-3x_{1}+1 = 0$,$x_{2}^{2}-3x_{2}+1 = 0$,求 $\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}$ 的值.

答案： 解 当$x_{1}\neq x_{2}$时,$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-3x + 1 = 0$的两根,有$x_{1}+x_{2}=3$,$x_{1}x_{2}=1$.故$\dfrac{x_{2}}{x_{1}}+\dfrac{x_{1}}{x_{2}}=\dfrac{x_{2}^{2}+x_{1}^{2}}{x_{1}x_{2}}=\dfrac{(x_{2}+x_{1})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\dfrac{3^{2}-2×1}{1}=7$.
当$x_{1}=x_{2}$时,$\dfrac{x_{2}}{x_{1}}+\dfrac{x_{1}}{x_{2}}=1 + 1=2$.
综上,$\dfrac{x_{2}}{x_{1}}+\dfrac{x_{1}}{x_{2}}$的值是$7$或$2$.