《2025年同步测控优化设计九年级数学全一册人教版福建专版》

1. 抛物线 $ y = x^{2} + 2x - 3 $ 的开口方向、顶点坐标分别是( )

A.开口向上、顶点坐标为 $ ( - 1, - 4) $
B.开口向下、顶点坐标为 $ (1, 4) $
C.开口向上、顶点坐标为 $ (1, 4) $
D.开口向下、顶点坐标为 $ ( - 1, - 4) $

答案： 1.A

2. 二次函数 $ y = \frac{1}{2}x^{2} + 3x + \frac{5}{2} $ 的图象是由函数 $ y = \frac{1}{2}x^{2} $ 的图象先向____(左、右)平移____个单位长度,再向____(上、下)平移____个单位长度得到的。

答案： 2.左 3 下 2 先将二次函数由一般式化成顶点式,再确定函数图象平移的单位长度.由于$y=\dfrac{1}{2}x^{2}+3x+\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{2}(x^{2}+6x+5)=\dfrac{1}{2}(x^{2}+6x+9-9+5)=\dfrac{1}{2}(x+3)^{2}-2$,故抛物线$y=\dfrac{1}{2}x^{2}+3x+\dfrac{5}{2}$是由抛物线$y=\dfrac{1}{2}x^{2}$先向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度得到的.

3. 把二次函数 $ y = - \frac{1}{4}x^{2} - x + 3 $ 用配方法化成 $ y = a(x - h)^{2} + k $ 的形式为____。

答案： 3.$y=-\dfrac{1}{4}(x+2)^{2}+4$

4. 已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx - 3 $ 经过点 $ A(2, - 3) $,$ B( - 1, 0) $,则二次函数的解析式为____；要使该二次函数的图象与 $ x $ 轴只有一个交点,应把图象沿 $ y $ 轴向上平移____个单位。

答案： 4.$y=x^{2}-2x-3$ 4 由已知,得$\begin{cases} 4a+2b-3=-3, \\a-b-3=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=1, \\b=-2. \end{cases}$故所求的二次函数的解析式为$y=x^{2}-2x-3$.将二次函数的解析式进行配方得$y=x^{2}-2x-3=(x-1)^{2}-4$,求出顶点坐标为$(1,-4)$,要使该二次函数的图象与$x$轴只有一个交点,应把图象沿$y$轴向上平移4个单位长度.

5. 已知二次函数 $ y = - \frac{1}{2}x^{2} + 4x - 5 $。
(1) 求该函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2) 在平面直角坐标系中画出它的图象。

答案：
5.解
(1)(方法一)因为$-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{4}{2×\left(-\dfrac{1}{2}\right)}=4$,$\dfrac{4ac-b^{2}}{4a}=\dfrac{4×\left(-\dfrac{1}{2}\right)×(-5)-4^{2}}{4×\left(-\dfrac{1}{2}\right)}=3$,所以该函数图象的顶点坐标为$(4,3)$,对称轴为直线$x=4$.
(方法二)$y=-\dfrac{1}{2}x^{2}+4x-5=-\dfrac{1}{2}(x^{2}-8x)-5=-\dfrac{1}{2}(x-4)^{2}+3$,所以该函数图象的顶点坐标为$(4,3)$,对称轴为直线$x=4$.
(2)列表如下:
x … 1 2 3 4 5 6 7
$y=-\dfrac{1}{2}x^{2}+4x-5$ … -1.5 1 2.5 3 2.5 1 -1.5 …
描点、连线,画出图象如图:

1. 二次函数 $ y = ax^{2} + x + 1 $ 的图象必过点( )

A.$ (0, a) $
B.$ ( - 1, - a) $
C.$ ( - 1, a) $
D.$ (0, - a) $

答案： 1.C

2. 已知 $ ( - 3, y_{1}) $,$ ( - 2, y_{2}) $,$ (1, y_{3}) $ 是抛物线 $ y = - 3x^{2} - 12x + m $ 上的点,则( )

A.$ y_{3} ＜ y_{2} ＜ y_{1} $
B.$ y_{3} ＜ y_{1} ＜ y_{2} $
C.$ y_{2} ＜ y_{3} ＜ y_{1} $
D.$ y_{1} ＜ y_{3} ＜ y_{2} $

答案： 2.B

3. 已知 $ P_{1}(x_{1}, y_{1}) $,$ P_{2}(x_{2}, y_{2}) $ 是抛物线 $ y = ax^{2} - 2ax $ 上的点,下列说法正确的是( )

A.若 $ |x_{1} - 1| ＞ |x_{2} - 1| $,则 $ y_{1} ＞ y_{2} $
B.若 $ |x_{1} - 1| ＞ |x_{2} - 1| $,则 $ y_{1} ＜ y_{2} $
C.若 $ |x_{1} - 1| = |x_{2} - 1| $,则 $ y_{1} = y_{2} $
D.若 $ y_{1} = y_{2} $,则 $ x_{1} = x_{2} $

答案： 3.C

4. 如图,现要在抛物线 $ y = x(4 - x) $ 上找点 $ P(a, b) $,针对 $ b $ 的不同取值,所找点 $ P $ 的个数,三人的说法如下：

甲：若 $ b = 5 $,则点 $ P $ 的个数为 $ 0 $；
乙：若 $ b = 4 $,则点 $ P $ 的个数为 $ 1 $；
丙：若 $ b = 3 $,则点 $ P $ 的个数为 $ 1 $。
下列判断正确的是( )

A.乙错,丙对
B.甲和乙都错
C.乙对,丙错
D.甲错,丙对

答案： 4.C