《2025年同步测控优化设计九年级数学全一册人教版福建专版》

5. 某同学利用描点法画二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的图象时,列出的部分数据如下表：
| $ x $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 3 $ | $ 4 $ |
| $ y $ | $ 3 $ | $ 0 $ | $ - 2 $ | $ 0 $ | $ 3 $ |

经检查,发现表格中恰好有一组数据计算错误,请你根据上述信息写出该二次函数的解析式：____。

答案： 5.$y=x^{2}-4x+3$ 由于表格中只有一组数据计算错误,根据抛物线的对称性及图象经过点$(0,3),(4,3)$可得抛物线的对称轴为直线$x=2$,而根据图象经过点$(1,0)$,$(3,0)$亦可得抛物线的对称轴为直线$x=2$,所以抛物线的对称轴可确定为直线$x=2$,而且能断定这四组数据都不会错.所以从这四个点中任意选3个可求得其解析式.如设二次函数解析式为$y=a(x-1)(x-3)$,把$x=0$,$y=3$代入得$3=a(0-1)\cdot(0-3)$,解得$a=1$,所以$y=(x-1)(x-3)=x^{2}-4x+3$.

6. 若抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的顶点是 $ A(2, 1) $,且经过点 $ B(1, 0) $,则抛物线的函数解析式为____。

答案： 6.$y=-x^{2}+4x-3$ 设抛物线的解析式为$y=a(x-2)^{2}+1$,将$B(1,0)$代入$y=a(x-2)^{2}+1$,得$a=-1$.因此抛物线的函数解析式为$y=-(x-2)^{2}+1$,展开得$y=-x^{2}+4x-3$.

7. 已知实数 $ x $,$ y $ 满足 $ x^{2} + 3x + y - 3 = 0 $,则 $ x + y $ 的最大值为____。

答案： 7.4 易知$y=-x^{2}-3x+3$,则$x+y=-x^{2}-2x+3=-(x+1)^{2}+4$,所以$x+y$的最大值为4.

8. 已知二次函数 $ y = ax^{2} - 5x + c $ 的图象如图所示。

(1) 求该二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标；
(2) 观察图象回答,何时 $ y $ 的值随 $ x $ 值的增大而增大,何时 $ y $ 的值随 $ x $ 值的增大而减小？
(3) 如果将图中抛物线先向左平移 $ 3 $ 个单位长度,再向下平移 $ 4 $ 个单位长度,试确定所得到的抛物线的解析式。

答案： 8.解
(1)由图象知,抛物线过点$(1,0),(4,0)$,将坐标代入函数解析式,得$\begin{cases} a-5+c=0, \\16a-20+c=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=1, \\c=4. \end{cases}$故所求二次函数的解析式为$y=x^{2}-5x+4$.又因为$y=x^{2}-5x+4=\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^{2}-\dfrac{9}{4}$,所以函数图象的顶点坐标为$\left(\dfrac{5}{2},-\dfrac{9}{4}\right)$.
(2)由
(1)知,$a=1＞0$,抛物线的对称轴为直线$x=\dfrac{5}{2}$,从图象知,当$x＞\dfrac{5}{2}$时,$y$随$x$值的增大而增大;当$x＜\dfrac{5}{2}$时,$y$随$x$值的增大而减小.
(3)由
(1)知,$y=x^{2}-5x+4=\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^{2}-\dfrac{9}{4}$,将抛物线先向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度,则所得抛物线的解析式为$y=\left(x-\dfrac{5}{2}+3\right)^{2}-\dfrac{9}{4}-4$,即$y=x^{2}+x-6$.

★9. 如图,四边形 $ ABCD $ 是菱形,点 $ D $ 的坐标是 $ (0, \sqrt{3}) $,以点 $ C $ 为顶点的抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 恰好经过 $ x $ 轴上 $ A $,$ B $ 两点,$ CE \perp AB $ 于点 $ E $。

(1) 求 $ A $,$ B $,$ C $ 三点的坐标；
(2) 求经过 $ A $,$ B $,$ C $ 三点的抛物线的解析式；
(3) 若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过点 $ D $,求平移后抛物线的解析式,并指出平移了多少个单位长度？

答案： ★9.解
(1)由抛物线的对称性可知$AE=BE$.在$Rt\triangle AOD$和$Rt\triangle BEC$中,$\because OD=EC$,$AD=BC$,$\therefore Rt\triangle AOD\congRt\triangle BEC(HL)$.$\therefore OA=EB=EA$.设菱形的边长为$2m$,在$Rt\triangle AOD$中,$m^{2}+(\sqrt{3})^{2}=(2m)^{2}$,解得$m=1$.$\therefore DC=2$,$OA=1$,$OB=3$.故$A,B,C$三点的坐标分别为$(1,0),(3,0),(2,\sqrt{3})$.
(2)设抛物线的解析式为$y=a(x-2)^{2}+\sqrt{3}$,代入点$A$的坐标$(1,0)$,得$a=-\sqrt{3}$,所以抛物线的解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^{2}+\sqrt{3}$.
(3)设平移后抛物线的解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^{2}+k$,代入点$D$的坐标$(0,\sqrt{3})$,得$k=5\sqrt{3}$,所以平移后的抛物线的解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^{2}+5\sqrt{3}$.所以平移了$5\sqrt{3}-\sqrt{3}=4\sqrt{3}$个单位长度.