《2025年同步测控优化设计九年级数学全一册人教版福建专版》

7. 已知函数$y = ax^2(a \neq 0)的图象与函数y = 2x - 3的图象交于点(1,b)$。
(1)求$a和b$的值；
(2)求函数$y = ax^2$的解析式,并求其图象的顶点坐标和对称轴；
(3)$x$取何值时,二次函数$y = ax^2中的y值随x$值的增大而增大？
(4)求抛物线与过点$(0,-2)且与x$轴平行的直线的两个交点与顶点构成的三角形的面积。

答案： 解：
(1)将x = 1，y = b代入y = 2x−3，得b = −1。所以交点坐标为(1，−1)。再将x = 1，y = −1代入y = ax²，得a = −1。故a = −1，b = −1。
(2)由
(1)知a = −1，故所求函数的解析式为y = −x²，则其图象的顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴。
(3)当x≤0时，y值随x值的增大而增大。
(4)如图，设直线y = −2与抛物线的两交点为A，B，与y轴的交点为C，由$\begin{cases}y = -2\\y = -x²\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = ±\sqrt{2}\\y = -2\end{cases}$。因此点A坐标为(−$\sqrt{2}$，−2)，点B坐标为($\sqrt{2}$，−2)，AB = $\sqrt{2}$−(−$\sqrt{2}$) = 2$\sqrt{2}$，OC = 2。故S△AOB = $\frac{1}{2}$AB·OC = $\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2 = 2$\sqrt{2}$。

1. 下列关于函数$y = 3x^2$的性质表述正确的一项是( )

A.无论$x$为何实数,$y$的值总为正
B.当$x$的值增大时,$y$的值也增大
C.它的图象关于$y$轴对称
D.它的图象在第一、三象限内

答案： C

2. 在同一平面直角坐标系中,抛物线$y = 2x^2$,$y = \frac{1}{2}x^2$,$y = -\frac{1}{2}x^2$的共同特征是( )

A.关于$y$轴对称,开口向上
B.关于$y$轴对称,形状相同
C.关于$y$轴对称,最低点的坐标是$(0,0)$
D.关于$y$轴对称,顶点是原点

答案： D

3. 已知$a \neq 0$,在同一平面直角坐标系中,函数$y = ax与y = ax^2$的图象可能是( )

A.
B.
C.
D.

答案： C 函数y = ax与y = ax²图象的交点坐标为(0，0)，(1，a)，结合a＞0和a＜0时的情况，可知选项C符合条件。

4. 如图,正方形四个顶点的坐标依次为$(1,1)$,$(3,1)$,$(3,3)$,$(1,3)$。若抛物线$y = ax^2$与正方形有公共点,则实数$a$的取值范围是( )


A.$\frac{1}{9} \leq a \leq 3$
B.$\frac{1}{9} \leq a \leq 1$
C.$\frac{1}{3} \leq a \leq 3$
D.$\frac{1}{3} \leq a \leq 1$

答案： A

5. 若点$A(-2,a)在抛物线y = -5x^2$上,则点$A关于y$轴对称点的坐标为______。

答案： (2，−20) 点A(−2，a)在抛物线y = −5x²上，代入后求得a = −20，即点A的坐标是(−2，−20)，它关于y轴对称点的坐标为(2，−20)。

6. 已知二次函数$y = -\frac{1}{4}x^2$,$x_1$,$x_2对应的函数值分别为y_1$,$y_2$,当$x_1 ＜ x_2 ＜ 0$时,$y_1与y_2$的大小关系为______。

答案： y₁＜y₂ 二次函数y = −$\frac{1}{4}$x²的图象开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，所以当x₁＜x₂＜0时，y₁＜y₂。

7. 已知函数$y = (m^2 - 3m)x^{m^2 - 2m - 1}$的图象是抛物线,则该函数的解析式为______,抛物线的顶点坐标为______,对称轴为______,开口______。

答案： y = 4x² (0，0) y轴 向上 由函数图象是抛物线知，此函数为二次函数，所以满足$\begin{cases}m²−2m−1 = 2\\m²−3m≠0\end{cases}$，解得m = −1。所以函数的解析式为y = 4x²，抛物线的顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴，开口向上。