《2025年同步测控优化设计九年级数学全一册人教版福建专版》

1. 若反比例函数$y= \frac{3k - 1}{x}$的图象位于第二、第四象限,则实数$k$的取值范围是( )

A.$k＞\frac{1}{3}$
B.$k＜\frac{1}{3}$
C.$k= \frac{1}{3}$
D.不存在

答案： B　反比例函数y=$\frac{3k−1}{x}$的图象位于第二、第四象限，则3k−1＜0,解得k＜$\frac{1}{3}$.

2. 若点$A(a - 1,y_1)$,$B(a + 1,y_2)在反比例函数y= \frac{k}{x}(k＜0)$的图象上,且$y_1＞y_2$,则实数$a$的取值范围是( )

A.$a＜-1$
B.$-1＜a＜1$
C.$a＞1$
D.$a＜-1或a＞1$

答案： B

3. 已知反比例函数$y= \frac{k}{x}$在第一象限的图象如图所示,则实数$k$的值可能是( )


A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： C
∵2＜k＜4,
∴k的值可能是3.也可用排除法.

4. 一个反比例函数具有下列性质：①它的图象经过点$(-1,1)$；②它的图象在第二、第四象限内,且在每个象限内,函数值$y随自变量x$的增大而增大,则这个反比例函数的解析式为______。

答案： y=−$\frac{1}{x}$

5. 如图,已知双曲线$y= \frac{k}{x}(k＜0)经过Rt\triangle OAB斜边OA的中点D$,且与直角边$AB相交于点C$。若点$A的坐标为(-6,4)$,则$\triangle AOC$的面积为______。

答案： 9
∵点D为△OAB斜边OA的中点，且点A的坐标为(−6,4),
∴点D的坐标为(−3,2),把(−3,2)代入y=$\frac{k}{x}$(k＜0),可得k=−6,即双曲线的解析式为y=−$\frac{6}{x}$.
∵点C在双曲线y=−$\frac{6}{x}$上，
∴S△BOC=$\frac{|-6|}{2}$=3.
∴S△AOC=S△AOB−S△BOC=$\frac{1}{2}$×6×4−3=9.

6. 已知反比例函数$y_1= \frac{k_1}{x}$,$y_2= \frac{k_2}{x}和y_3= \frac{k_3}{x}$的图象如图所示,则$k_1$,$k_2和k_3$的大小关系为______。

答案： k₁＜k₂＜k₃　显然k₁＜0,k₂＞0,k₃＞0,故k₁最小.在y₂ 与y₃的函数图象上画出横坐标为1时的点，不难发现k₂=1·y₂＜1·y₃=k₃,故k₂＜k₃.综上可知k₁＜k₂＜k₃.

7. 如图,已知点$P$,$Q是反比例函数y= \frac{k}{x}$图象上的两点,$PA\perp y轴于点A$,$QN\perp x轴于点N$,作$PM\perp x轴于点M$,$QB\perp y轴于点B$,连接$PB$,$QM$,$\triangle ABP的面积记为S_1$,$\triangle QMN的面积记为S_2$,则$S_1$______$S_2$。(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)

答案： =　设PM与BQ相交于点C,则有S矩形AOCM=S矩形HONQ，
∴S矩形ABCP=S矩形MNQC,
∴S₁=S₂.

★8. 如图,在平面直角坐标系中,已知反比例函数$y= \frac{k}{x}(x＞0)的图象和矩形ABCD$在第一象限内,$AD平行于x$轴,且$AB = 2$,$AD = 4$,点$A的坐标为(2,6)$。
(1)直接写出$B$,$C$,$D$三点的坐标；
(2)若将矩形向下平移,使矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上,猜想这是哪两个点,并求出矩形的平移距离和反比例函数的解析式。

答案： 解
(1)B(2,4),C(6,4),D(6,6).
(2)如图,矩形ABCD平移后得到矩形A'B'C'D',设平移距离为a,则A'(2,6 - a),C'(6,4 - a).因为点A'、点C'在y=$\frac{k}{x}$的图象上,所以2(6 - a)=6(4 - a),解得a=3,所以点A'(2,3),所以反比例函数的解析式为y=$\frac{6}{x}$.