《2025年同步测控优化设计九年级数学全一册人教版福建专版》

2. 已知 $ x = 1 $ 是一元二次方程 $ (m-2)x^{2}+4x-m^{2} = 0 $ 的一个根,则 $ m $ 的值为( )

A.$ -1 $ 或 $ 2 $
B.$ -1 $
C.$ 2 $
D.$ 0 $

答案： B

3. 若实数 $ a,b $ 满足 $ (a+b)^{2}+a+b-2 = 0 $,则 $ (a+b)^{2} $ 的值为( )

A.$ 4 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $ 或 $ 1 $
D.$ 4 $ 或 $ 1 $

答案： D 把$a+b$看成一个整体,解得$a+b=-2$或$a+b=1$,所以$(a+b)^2$的值为4或1.

4. 当 $ x = $______时,多项式 $ x^{2}-2x-3 $ 的值为 $ 12 $。

答案： 5或-3

5. 已知 $ \sqrt{a-2}+(c+3)^{2} = 0 $,则关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2}-x+c = 0 $ 的两根分别为______。

答案： $x_1=\frac{3}{2},x_2=-1$ 由题意,得$\sqrt{a-2}=0,(c+3)^2=0$,即$a=2,c=-3$.
则$ax^2-x+c=0$为$2x^2-x-3=0$.
这里$a=2,b=-1,c=-3,b^2-4ac=(-1)^2-4× 2×(-3)=25$,得$x=\frac{1\pm5}{4}$,即$x_1=\frac{3}{2},x_2=-1$.

6. 有一张长方形的桌子,长为 $ 3m $,宽为 $ 2m $,长方形桌布的面积是桌面面积的 $ 2 $ 倍,且将桌布铺到桌面上时各边垂下的长度相同,则桌布长为______,宽为______。

答案： 4 m 3 m 桌布的面积为$3×2×2=12(m^2)$.
设垂下的长度为$x$m,则$(3+2x)(2+2x)=12$,
解得$x=\frac{1}{2}$(负根舍去).
故桌布的长为4 m,宽为3 m.

7. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx+c = 0 $ 中二次项系数与常数项之和等于一次项系数,则方程必有一根为______。

答案： -1

8. 用公式法解方程：
(1)$ x^{2}+x-1 = 0 $；
(2)$ 2x^{2} = 1-3x $。

答案： 解
(1)由方程可得$a=1,b=1,c=-1,b^2-4ac=1+4=5＞0$,
$\therefore x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$,即$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2= \frac{-1-\sqrt{5}}{2}$.
(2)原方程整理,得$2x^2+3x-1=0$.
$\because a=2,b=3,c=-1,b^2-4ac=3^2-4×2×(-1)= 9+8=17＞0$,
$\therefore x=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$,即$x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4}$,$x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$.

★9. 已知关于 $ x $ 的方程 $ 2x^{2}+kx-10 = 0 $ 的一个根为 $ \frac{5}{2} $,求它的另一个根及 $ k $ 的值。

答案： 解 把$x=\frac{5}{2}$代入$2x^2+kx-10=0$,得$2×\frac{25}{4}+\frac{5}{2}k-10=0$,解得$k=-1$.
故原方程为$2x^2-x-10=0$.
$\because a=2,b=-1,c=-10$,
$\therefore b^2-4ac=(-1)^2-4×2×(-10)=81$.
$\therefore x=\frac{1\pm\sqrt{81}}{2×2}=\frac{1\pm9}{4}$.
$\therefore x_1=\frac{5}{2},x_2=-2$.
$\therefore$它的另一根为-2,$k$的值为-1.

1. 在解一元二次方程时,不是用开平方降次,而是先______,使方程化为两个一次式的乘积等于____的形式,再使这两个一次式分别等于______,从而实现______。这种解法叫做______。

答案： 因式分解 0 0 降次 因式分解法

2. 方程$(x - 1)(x + 2) = 0$的两根分别为( )

A.$x_{1} = -1$,$x_{2} = 2$
B.$x_{1} = 1$,$x_{2} = 2$
C.$x_{1} = -1$,$x_{2} = -2$
D.$x_{1} = 1$,$x_{2} = -2$

答案： D

3. 配方法要先______,再降次；通过配方法可以推出______,公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘,另一边为$0$,再分别使各一次因式等于$0$。配方法、公式法适用于______一元二次方程,因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便。总之,解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程,即______。

答案： 配方 求根公式 所有 降次