《2025年同步测控优化设计九年级数学全一册人教版福建专版》

6. 若函数 $ y = a(x - h)^2 + k (k \neq 0) $ 的图象是一条不经过第一、第二象限的抛物线,则 $ a $____0,$ k $____0。

答案： 6.$＜$　$＜$　抛物线图象不经过第一、第二象限，则抛物线开口向下.又$k≠0$，则顶点在$x$轴下方，故$a ＜ 0,k ＜ 0$.

7. 在平面直角坐标系中,二次函数图象的顶点为 $ A(1, -4) $,且过点 $ B(3, 0) $。
(1) 试求该二次函数的解析式；
(2) 将该二次函数图象如何平移可使平移后所得图象的顶点为坐标原点？

答案： 7.解：
(1)根据题意，设二次函数的解析式为$y = a(x - 1)^{2}-4$.因为二次函数的图象过点$B(3,0)$，所以$0 = 4a - 4$，解得$a = 1$，所以二次函数的解析式为$y = (x - 1)^{2}-4$，即$y = x^{2}-2x - 3$.
(2)由题意知，原抛物线的顶点为$A(1,-4)$，因此只需将原抛物线向左平移1个单位长度，然后再向上平移4个单位长度，即可使平移后所得图象的顶点为坐标原点.

1. 二次函数 $ y = -\frac{1}{4}(x - 2)^2 $ 的图象与 $ y $ 轴( )

A.没有交点
B.有交点
C.交点为 $ (1, 0) $
D.交点为 $ \left(0, \frac{1}{4}\right) $

答案： 1.B

2. 如图,把抛物线 $ y = x^2 $ 沿直线 $ y = x $ 平移 $ \sqrt{2} $ 个单位长度后,其顶点在直线上的点 $ A $ 处,则平移后抛物线的解析式是( )


A.$ y = (x + 1)^2 - 1 $
B.$ y = (x + 1)^2 + 1 $
C.$ y = (x - 1)^2 + 1 $
D.$ y = (x - 1)^2 - 1 $

答案： 2.C　把抛物线$y = x^{2}$沿直线$y = x$平移$\sqrt{2}$个单位长度，即是将此抛物线向上平移1个单位长度后，再向右平移1个单位长度，故平移后的抛物线的解析式为$y = (x - 1)^{2}+1$.

3. 已知二次函数 $ y = a(x + 1)^2 - b $ 有最小值 1,则 $ a $,$ b $ 的大小关系为( )

A.$ a ＞ b $
B.$ a ＜ b $
C.$ a = b $
D.不能确定

答案： 3.A　因为二次函数有最小值，所以抛物线开口向上，则$a ＞ 0$；因为最小值为1，即$-b = 1$，所以$b = - 1 ＜ 0$，$a ＞ b$.

4. 已知二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k (a ＞ 0) $,其图象过点 $ A(0, 2) $,$ B(8, 3) $,则 $ h $ 的值可以是( )

A.6
B.5
C.4
D.3

答案： 4.D　(方法一)开口向上且过点$A(0,2),B(8,3)$的抛物线大致如下图所示，作出点$A$的对称点$P$，显然点$P$的横坐标一定小于8，故对称轴一定小于4.(方法二)把$A(0,2),B(8,3)$代入$y = a(x - h)^{2}+k$ $(a ＞ 0)$，得$ah^{2}+k = 2$，$64a - 16ah + ah^{2}+k = 3$，$\therefore 64a - 16ah = 1$，即$16a(4 - h)=1$.又$a ＞ 0$，$\therefore 4 - h ＞ 0$，$h ＜ 4$，因此，只有选项D符合要求，故选D.

5. 若把函数 $ y = x $ 的图象用 $ E(x, x) $ 记,函数 $ y = 2x + 1 $ 的图象用 $ E(x, 2x + 1) $ 记……则 $ E(x, x^2 - 2x + 1) $ 可以由 $ E(x, x^2) $ 怎样平移得到？( )

A.向上平移 1 个单位长度
B.向下平移 1 个单位长度
C.向左平移 1 个单位长度
D.向右平移 1 个单位长度

答案： 5.D　由题意可得$E(x,x^{2})$表示二次函数$y = x^{2}$的图象，$E(x,x^{2}-2x + 1)$表示二次函数$y = x^{2}-2x + 1$的图象，即$y = (x - 1)^{2}$的图象，它可以由函数$y = x^{2}$的图象向右平移1个单位长度得到.

6. 已知点 $ A(x_1, y_1) $,$ B(x_2, y_2) $ 在二次函数 $ y = (x - 1)^2 + 1 $ 的图象上,若 $ x_1 ＞ x_2 ＞ 1 $,则 $ y_1 $____$ y_2 $。

答案： 6.$＞$　由二次函数$y = (x - 1)^{2}+1$可知，其图象的对称轴为直线$x = 1$.因为$x_{1}＞x_{2}＞1$，所以两点均在对称轴的右侧.因为此函数图象开口向上，所以在对称轴的右侧，$y$随$x$的增大而增大.故$y_{1}＞y_{2}$.

7. 下列关于二次函数 $ y = -(x - m)^2 + m^2 + 1 $($ m $ 为常数)的结论：①该函数的图象与函数 $ y = -x^2 $ 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点 $ (0, 1) $；③当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 $ y = x^2 + 1 $ 的图象上。其中所有正确结论的序号是____。

答案： 7.①②④

8. 已知 $ y = a(x - t - 1)^2 + t^2 $($ a $,$ t $ 是常数,$ a \neq 0 $,$ t \neq 0 $)的图象的顶点是 $ A $,$ y = (x - 1)^2 $ 的图象的顶点是 $ B $。
(1) 判断点 $ A $ 是否在 $ y = (x - 1)^2 $ 的图象上,并说明理由。
(2) 若 $ y = a(x - t - 1)^2 + t^2 (a \neq 0, t \neq 0) $ 的图象经过点 $ B $,求 $ a $ 的值。

答案： 8.解：
(1)点$A$在$y = (x - 1)^{2}$的图象上.理由：因为$y = a(x - t - 1)^{2}+t^{2}$的图象的顶点是$A(t + 1,t^{2})$，且当$x = t + 1$时，$y = (x - 1)^{2}=(t + 1 - 1)^{2}=t^{2}$，所以点$A$在$y = (x - 1)^{2}$的图象上.
(2)$y = (x - 1)^{2}$的图象的顶点为点$B(1,0)$.因为$y = a(x - t - 1)^{2}+t^{2}$的图象经过点$B(1,0)$，所以$a(1 - t - 1)^{2}+t^{2}=0$.所以$(a + 1)t^{2}=0$.又因为$t≠0$，所以$a + 1 = 0$，即$a = - 1$.