《2025年同步测控优化设计九年级数学全一册人教版福建专版》

5. 若一直角三角形中,其斜边与一直角边的长度之比是$13:12$,最小角为$\alpha$,则$\sin\alpha =$____.

答案： $\frac{5}{13}$

6. 在如图所示的$Rt\triangle ABC$中,求$\angle A$的正弦值.

答案： 解：$\because$ 在Rt△ABC中，$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{289}=17$，$\therefore\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{17}$.

1. 如图,在$Rt\triangle ACB$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\sin B = 0.5$,若$AC = 6$,则$BC$的长为( )


A.$8$
B.$12$
C.$6\sqrt{3}$
D.$12\sqrt{3}$

答案： C

2. 如图,$BD\perp AC$,$CE\perp AD$,$CE$,$BD相交于点M$,则$\sin\angle DME$不等于( )


A.$\frac{DE}{DM}$
B.$\frac{BC}{CM}$
C.$\frac{DB}{AD}$
D.$\frac{AE}{AC}$

答案： D

3. 图①是一张直角三角形纸片$ABC$,如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形,如图②,那么在$Rt\triangle ABC$中,$\sin B$的值是( )


A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$1$
D.$\frac{3}{2}$

答案： B根据题意，两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形，可知$\angle A=30^{\circ}$.设$BC=x$，则$AB=2x$.
　　　根据勾股定理得$AC=\sqrt{(2x)^2−x^2}=\sqrt{3}x$，
　　　所以$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故选B.

4. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AB = 10$,$\sin A = \frac{3}{5}$,则$BC$的长为____.

答案： 6 由正弦的定义，得$\sin A=\frac{BC}{AB}$，即$\frac{BC}{10}=\frac{3}{5}$，解得$BC=6$.

5. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD\perp AB$,$D$为垂足. 若$AC = 4$,$BC = 3$,则$\sin\angle ACD$的值为____.

答案： $\frac{4}{5}$

6. 在菱形$ABCD$中,$DE\perp AB$,垂足是$E$,$DE = 6$,$\sin A = \frac{3}{5}$,则菱形$ABCD$的周长是____.

答案： 40

7. 如图,已知直线$l_{1}// l_{2}// l_{3}// l_{4}$,相邻两条平行直线间的距离都是$1$. 如果正方形$ABCD$的四个顶点分别在四条直线上,那么$\sin\alpha =$____.

答案：
$\frac{\sqrt{5}}{5}$ 如图，过点$D$作$EF\perp l_4$，垂足为$F$，容易推出$\triangle ADE\cong\triangle DCF$，可得$AE=DF=2$，进而可得$AD=\sqrt{5}$，所以$\sin\alpha=\frac{DE}{AD}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

8. 如图,$PA与\odot O相切于点A$,$PC经过\odot O的圆心且与该圆相交于B$,$C$两点. 若$PA = 4$,$PB = 2$,则$\sin P = $____.

答案：
$\frac{3}{5}$ 如图，连接$OA$，则$OA\perp PA$，所以在Rt△PAO中，$OA^2+PA^2=PO^2$.设$\odot O$的半径为$x$，则$PO=x+2$.所以$x^2+4^2=(x+2)^2$，解得$x=3$.所以$PO=5$，故$\sin P=\frac{OA}{OP}=\frac{3}{5}$.

9. 如图,已知角$\alpha终边上一点P的坐标为(5,2)$,求角$\alpha$的正弦值.

答案：
解：如图，过点$P$作$PA\perp x$轴，垂足为$A$，则$PA=2$，$OA=5$.
　　　$\therefore OP=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}$
　　　$\therefore\sin\alpha=\sin\angle POA=\frac{PA}{OP}=\frac{2}{\sqrt{29}}=\frac{2\sqrt{29}}{29}$.