《2025年同步测控优化设计九年级数学全一册人教版福建专版》

1. 抛物线 $ y = x^2 + 1 $ 的图象大致是( )

答案： C

2. 若二次函数 $ y = x^2 + \frac{1}{2} $ 与 $ y = -x^2 + k $ 的图象的顶点重合,则下列结论不正确的是( )

A.这两个函数图象有相同的对称轴
B.这两个函数图象的开口方向相反
C.二次函数 $ y = -x^2 + k $ 的最大值为 $ \frac{1}{2} $
D.这两个函数图象的开口大小不同

答案： D

3. 函数 $ y = 2x^2 + 1 $ 的最小值是____。

答案： 1

4. 请你写出一个顶点坐标为 $ (0, -6) $ 的抛物线的解析式____,该抛物线的对称轴为____,它有最____函数值____,在对称轴右侧,函数值 $ y $ 随 $ x $ 值的减小而____。

答案： $y=x^{2}-6$(答案不唯一) y轴 小 -6 减小

1. 下列关于抛物线 $ y = -x^2 + 2 $ 的说法正确的是( )

A.抛物线开口向上
B.顶点坐标为 $ (-1, 2) $
C.在对称轴的右侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
D.抛物线与 $ x $ 轴有两个交点

答案： D $\because y=-x^{2}+2$,$\therefore$抛物线开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为$(0,2)$,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,$\therefore$A,B,C都不正确,D正确,故选D.

2. 若正比例函数 $ y = mx (m \neq 0) $,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,则它和二次函数 $ y = mx^2 + m $ 的图象大致是( )

答案： A $\because$正比例函数$y=mx(m≠0)$,y随x的增大而减小,$\therefore$该正比例函数图象经过第二、第四象限,且$m＜0$.$\therefore$二次函数$y=mx^{2}+m$的图象开口向下,且与y轴交于负半轴.综上所述,符合题意的只有A选项.故选A.

3. 已知点 $ (-9, y_1) $,$ (4, y_2) $,$ (-2, y_3) $ 都在抛物线 $ y = ax^2 + m (a ＞ 0) $ 上,则( )

A.$ y_1 ＜ y_2 ＜ y_3 $
B.$ y_1 ＜ y_3 ＜ y_2 $
C.$ y_3 ＜ y_2 ＜ y_1 $
D.$ y_2 ＜ y_1 ＜ y_3 $

答案： C

4. 已知二次函数 $ y = ax^2 + c $ 当 $ x $ 取 $ x_1 $,$ x_2 (x_1 \neq x_2) $ 时,函数值相等,则当 $ x $ 取 $ x_1 + x_2 $ 时,函数值为( )

A.$ a + c $
B.$ a - c $
C.$ -c $
D.$ c $

答案： D 因为抛物线$y=ax^{2}+c$的对称轴为y轴,再由抛物线的对称性知$x_{1}$和$x_{2}$互为相反数,所以$x_{1}+x_{2}=0$,把$x=0$代入$y=ax^{2}+c$得$y=c$.故选D.

5. 若抛物线 $ y = ax^2 + k (a \neq 0) $ 与 $ y = -2x^2 + 4 $ 关于 $ x $ 轴对称,则 $ a = $____,$ k = $____。

答案： 2 -4

6. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 $ y = ax^2 + 3 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ A $,过点 $ A $ 与 $ x $ 轴平行的直线交抛物线 $ y = \frac{1}{3}x^2 $ 于点 $ B $,$ C $,则 $ BC $ 的长为____。

答案： 6 在函数$y=ax^{2}+3$中,当$x=0$时,$y=3$,故点A坐标为$(0,3)$.把$y=3$代入$y=\frac {1}{3}x^{2}$,解得$x=±3$,故点B坐标为$(-3,3)$,点C坐标为$(3,3)$,$BC=6$.

7. 已知点 $ (x_1, y_1) $,$ (x_2, y_2) $ 均在抛物线 $ y = x^2 - 1 $ 上,下列说法：①若 $ y_1 = y_2 $,则 $ x_1 = x_2 $；②若 $ x_1 = -x_2 $,则 $ y_1 = -y_2 $；③若 $ 0 ＜ x_1 ＜ x_2 $,则 $ y_1 ＞ y_2 $；④若 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 0 $,则 $ y_1 ＞ y_2 $,其中正确的是____。(填序号)

答案： ④ 若$y_{1}=y_{2}$,则$x_{1}=x_{2}$或$x_{1}=-x_{2}$,所以①与②均错误;若$0＜x_{1}＜x_{2}$,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大,则$y_{1}＜y_{2}$,所以③错误;若$x_{1}＜x_{2}＜0$,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,则$y_{1}＞y_{2}$,所以④是正确的.