《2025年同步测控优化设计九年级数学全一册人教版福建专版》

5. 按指定的方法解下列方程：
(1)$\frac{1}{2}(2x - 1)^{2} - 32 = 0$(直接开平方法)；
(2)$x^{2} - x - 7 = 0$(公式法)；
(3)$x^{2} - 1 = 3x - 3$(因式分解法)。

答案： 解
(1)将原方程整理,得$(2x-1)^{2}=64$,开平方,得$2x-1=\pm8$,$2x=1\pm8$,$x=\frac{1\pm8}{2}$,所以$x_{1}=\frac{1+8}{2}=\frac{9}{2}$,$x_{2}=\frac{1-8}{2}=-\frac{7}{2}$.
(2)因为$a=1$,$b=-1$,$c=-7$,
所以$b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×(-7)=29$,所以$x=\frac{1\pm\sqrt{29}}{2}$,即$x_{1}=\frac{1+\sqrt{29}}{2}$,$x_{2}=\frac{1-\sqrt{29}}{2}$.
(3)原方程可化为$x^{2}-1-3x+3=0$,即$(x+1)(x-1)-3(x-1)=0$,$(x-1)(x+1-3)=0$,$(x-1)(x-2)=0$,于是$x-1=0$或$x-2=0$,所以$x_{1}=1$,$x_{2}=2$.

1. 已知关于$x的一元二次方程x^{2} + px + q = 0的两根为x_{1} = 3$,$x_{2} = -4$,则二次三项式$x^{2} + px + q$可分解为( )

A.$(x + 3)(x - 4)$
B.$(x - 3)(x + 4)$
C.$(x + 3)(x + 4)$
D.$(x - 3)(x - 4)$

答案： B

2. 若分式$\frac{x^{2} + 2x - 3}{x^{2} - 1}的值为0$,则$x$的值为( )

A.$1或-1$
B.$-3或1$
C.$-3$
D.$-3或-1$

答案： C 由题意,得$\begin{cases}x^{2}+2x-3=0,\\x^{2}-1\neq0,\end{cases}$解得$x=-3$.注意:分式的值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.

3. 一个正方体的展开图如图所示,已知正方体相对两个面上的数相同,则“★”面上的数为( )


A.$1$
B.$1或2$
C.$2$
D.$2或3$

答案： D 由题意,得$x^{2}=3x-2$,解得$x_{1}=1$,$x_{2}=2$.★$=x+1=2$或3.故选D.

4. 用因式分解法解关于$x的一元二次方程x^{2} - mx - 7 = 0$时,若将左边分解后有一个因式为$x + 1$,则$m$的值为( )

A.$7$
B.$-7$
C.$6$
D.$-6$

答案： C 由题意可得$x+1=0$,则$x=-1$,即方程$x^{2}-mx-7=0$有一个解为-1.因此$(-1)^{2}-m×(-1)-7=0$.故$m=6$.

5. 已知关于$x的方程x^{2} + mx - 2m = 0的一个根为-1$,则关于$x的方程x^{2} - 6mx = 0$的根为( )

A.$x = 2$
B.$x = 0$
C.$x_{1} = 2$,$x_{2} = 0$
D.以上答案都不对

答案： C 因为$x^{2}+mx-2m=0$的一个根为-1,所以$(-1)^{2}-m-2m=0$,得$m=\frac{1}{3}$.所以方程$x^{2}-6mx=0$即为$x^{2}-2x=0$,解得$x_{1}=2$,$x_{2}=0$.

6. 已知一元二次方程的两根分别是$2和-3$,则这个一元二次方程可以是______。

答案： 如$x^{2}+x-6=0$等 因为方程的两根分别是2和-3,所以满足$(x-2)(x+3)=0$,即$x^{2}+x-6=0$.

7. 已知关于$x的一元二次方程mx^{2} + 5x + m^{2} - 2m = 0有一个根为0$,则$m = $______。

答案： 2

8. 对于实数$a$,$b$,我们定义一种运算“※”为：$a※b = a^{2} - ab$,例如$1※3 = 1^{2} - 1×3$。若$x※4 = 0$,则$x = $______。

答案： 0或4 依题意,$x※4=x^{2}-4x=0$,解得$x=0$或$x=4$.

9. 用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)$(2x + 3)(2x - 3) = 16$；
(2)$3x^{2} - 5x + 1 = 0$。

答案： 解
(1)原方程可变形为$4x^{2}-9=16$,$4x^{2}=25$,$x^{2}=\frac{25}{4}$,解得$x=\pm\frac{5}{2}$,即$x_{1}=\frac{5}{2}$,$x_{2}=-\frac{5}{2}$.
(2)因为$a=3$,$b=-5$,$c=1$,
$b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×3×1=25-12=13$,
所以$x=\frac{5\pm\sqrt{13}}{2×3}=\frac{5\pm\sqrt{13}}{6}$,
即$x_{1}=\frac{5+\sqrt{13}}{6}$,$x_{2}=\frac{5-\sqrt{13}}{6}$.