《2025年同步测控优化设计九年级数学全一册人教版福建专版》

4. 已知圆锥的侧面展开图的弧长为 $ 6\pi cm $,圆心角为 $ 216^{\circ} $,则此圆锥的母线长为______ $ cm $.

答案： 5　设母线长为acm,则6π=(216πa)/180,解得a=5.

5. 右面是一个圆锥的轴截面,则此圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为______.

答案： 90°
∵2π×3=(nπ×12)/180,
∴n=90.

6. 一个圆锥的高为 $ 3 $,侧面展开图是半圆,求：
(1)圆锥的母线与底面半径之比；
(2)圆锥的全面积.

答案：
解 如图，设圆锥的轴截面为△ABC,过A作AO⊥BC于点O,设母线长AB=l,底面⊙O的半径为r,高AO=h.

(1)
∵圆锥的侧面展开图是半圆,
∴2πr=1/2×2πl=πl,l/r=2.
(2)在Rt△ABO中,
∵l²=r²+h²,l=2r,h=3,
∴(2r)²=3²+r².
由r为正数,解得r=√3,l=2r=2√3.故S_全=S_侧+S_底=πrl+πr²=π×√3×2√3+π×(√3)²=9π.

1. 若圆锥的轴截面为等边三角形,则称此圆锥为正圆锥,正圆锥侧面展开图的圆心角的度数为( )

A.$ 90^{\circ} $
B.$ 120^{\circ} $
C.$ 150^{\circ} $
D.$ 180^{\circ} $

答案： D　设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为n°，半径为r,则圆锥的底面直径也为r,根据圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得(nπr)/180=πr,解得n=180.

2. 如图,已知一块圆心角为 $ 270^{\circ} $的扇形铁皮,用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计),若圆锥底面圆的直径是 $ 60 cm $,则这块扇形铁皮的半径是( )


A.$ 40 cm $
B.$ 50 cm $
C.$ 60 cm $
D.$ 80 cm $

答案： A 设这块扇形铁皮的半径是rcm,根据题意，得(270πr)/180=60π,解得r=40.

3. 已知点 $ O $ 为一圆锥的顶点,点 $ M $ 为该圆锥底面上一点,点 $ P $ 在母线 $ OM $ 上,一只蚂蚁从点 $ P $ 出发,绕圆锥侧面爬行,回到点 $ P $ 时所爬过的最短路线的痕迹如图所示. 若沿母线 $ OM $ 将圆锥侧面剪开并展开,则所得侧面展开图是( )


A.
B.
C.
D.

答案： D

4. 如图,把一个圆锥沿母线 $ OA $ 剪开,展开后得到扇形 $ AOC $,已知圆锥的高 $ h $ 为 $ 12 cm $,$ OA = 13 cm $,则扇形 $ AOC $ 中 $ \overset{\frown}{AC} $ 的长是______ $ cm $.(计算结果保留 $ \pi $)

答案： 10π　扇形AOC中$\overset{\frown}{AC}$的长即为圆锥底面圆的周长.圆锥底面圆的半径为√(OA²-h²)=√(13²-12²)=5,则圆周长为2π×5=10π,故$\overset{\frown}{AC}$的长是10πcm.

5. 如图,圆锥的底面半径为 $ 5 $,母线长为 $ 20 $,一只蜘蛛从底面圆周上一点 $ A $ 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 $ A $ 的最短路程是______.

答案：
20√2　将圆锥的侧面展开成扇形，连接AA'，则蜘蛛爬行的最短路程就是线段AA'的长度.

由题意知,OA=OA'=20,$\overset{\frown}{AA'}$=2π×5=10π,设∠AOA'=n°,
根据弧长公式可求n=(10π×180)/(20π)=90.
所以在Rt△AOA'中,AA'=√(OA²+OA'²)=20√2.

★6. 如图①,在正方形的铁皮上剪下一个圆形和一个扇形,使之恰好围成如图②的一个圆锥,设图①中圆的半径为 $ r $,扇形的半径为 $ R $,那么扇形的半径 $ R $ 与 $ \odot O $ 的半径 $ r $ 之间满足怎样的关系？并说明理由.

答案： 解 扇形的半径R等于⊙O的半径r的4倍.
理由如下:
因为$\overset{\frown}{EF}$=2πR×1/4=1/2πR,⊙O的周长为2πr,且题图①中的扇形和⊙O能围成题图②的圆锥,所以1/2πR=2πr,即R=4r.