《2025年同步测控优化设计九年级数学全一册人教版福建专版》

7. 判断下列方程根的情况：
(1)$3x^{2}-2x-1= 0$；
(2)$6y(y - 1)+3= 0$。

答案： 解（1）
∵a=3,b=-2,c=-1,
∴b²-4ac=(-2)²-4×3×(-1)=16＞0.故方程有两个不相等的实数根.（2）原方程化为一般形式,得6y²-6y+3=0.
∵a=6,b=-6,c=3,
∴b²-4ac=(-6)²-4×6×3=-36＜0.故原方程没有实数根.

1. 若关于$x的方程kx^{2}-6x+9= 0$有实数根,则实数$k$的取值范围是( )

A.$k＜1$,且$k\neq 0$
B.$k＜1$
C.$k\leqslant 1$,且$k\neq 0$
D.$k\leqslant 1$

答案： D

2. 已知直线$y = x + a$不经过第二象限,则关于$x的方程ax^{2}+2x+1= 0$实数解的个数是( )

A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$1或2$

答案： D

3. 若关于$x的一元二次方程x^{2}+2\sqrt{k}x-1= 0$有两个不相等的实数根,则实数$k$的取值范围是( )

A.$k＞-1$
B.$k\geqslant -1$
C.$k＞1$
D.$k\geqslant 0$

答案： D 由题意得{ (2√k)²-4×1×(-1)＞0, k≥0, 解得k≥0.

4. 已知关于$x的一元二次方程2x^{2}-4x+m-\frac{3}{2}= 0$有实数根,则实数$m$的取值范围是____。

答案： m≤7/2 因为关于x的一元二次方程2x²-4x+m-3/2=0有实数根,所以Δ=(-4)²-4×2×(m-3/2)=16-8m+12≥0,解得m≤7/2.

5. 已知关于$x的一元二次方程(m - 1)x^{2}+2x-1= 0$有两个不相等的实数根,则实数$m$的取值范围是____。

答案： m＞0,且m≠1 根据题意,得m-1≠0,且Δ=2²-4(m-1)×(-1)＞0,解得m＞0,且m≠1.

6. 证明：不论$m$为何值,关于$x的一元二次方程2x^{2}-(4m - 1)x-m^{2}-m= 0$总有两个不相等的实数根。

答案： 证明Δ=[-(4m-1)]²-4×2×(-m²-m)=24m²+1＞0,因此不论m为何值,方程总有两个不相等的实数根.

1. 当 $ b^{2}-4ac $____0 时,方程 $ ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0) $ 的实数根可写为______的形式,这个式子叫做一元二次方程 $ ax^{2}+bx+c = 0 $ 的求根公式。求根公式表达了用______法解一般的一元二次方程 $ ax^{2}+bx+c = 0 $ 的结果。解一个具体的一元二次方程时,把各______直接代入求根公式,可以避免配方过程而直接得出方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

答案： ≥ $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 配方 系数

2. 一元二次方程 $ 2x^{2}-3x-2 = 0 $ 中,$ a = $______,$ b = $______,$ c = $______,方程的根是______。

答案： 2 -3 -2 $x_1=2,x_2=-\frac{1}{2}$