《2025年同步测控优化设计九年级数学全一册人教版福建专版》

1. 如图,已知AB//CD,AC,BD交于点O,BO= 7,DO= 3,AC= 25,则AO的长为( )


A.10
B.12.5
C.15
D.17.5

答案： D

2. 已知有两个三角形如图①②所示,其边长或角的度数已在图中标注,图②中AB,CD交于点O,对于各图中的两个三角形而言,下列说法正确的是( )


A.都相似
B.都不相似
C.只有①相似
D.只有②相似

答案： A　题图①中根据三角形的内角和定理，即可求得大三角形的第三个角为70°，由两角分别相等的两个三角形相似，即可判定题图①中的两个三角形相似;题图②根据图形中的已知条件，即可证得$\frac{OA}{OD}=\frac{OC}{OB}$，又由对顶角相等，即可根据对应边成比例且夹角相等的三角形相似证得这两个三角形相似.

3. 一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm和15 cm,另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是6 cm和$\frac{45}{4}$ cm,这两个直角三角形____相似三角形.(填“是”或“不是”)

答案： 是

4. 如图,在▱ABCD中,E是边BC上的点,AE交BD于点F. 如果$\frac{BE}{BC}= \frac{2}{3}$,那么$\frac{BF}{FD}= $____.

答案： $\frac{2}{3}$

5. 如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,AD与BE相交于点F.

(1)求证：△ACD∽△BFD；
(2)当∠ABD= 45°,AC= 3时,求BF的长.

答案：
(1)证明
∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠ADC=∠BDF=∠AEF=90°,
∴∠CAD+∠AFE=∠FBD+∠BFD=90°.
∵∠BFD=∠AFE,
∴∠CAD=∠FBD,
∴△ACD∽△BFD.
(2)解在Rt△ABD中，
∵∠ABD=45°,
∴AD=BD.
∵△ACD∽△BFD,
∴$\frac{AC}{BF}=\frac{AD}{BD}=1$,
∴AC=BF.
∵AC=3,
∴BF=3.

1. 如图,下列四个选项中不一定成立的是( )


A.△COD∽△AOB
B.△AOC∽△BOD
C.△DCA∽△BAC
D.△PCA∽△PBD

答案： C
∵∠OCD=∠OAB,∠COD=∠AOB,
∴△COD∽△AOB.
∵∠ACO=∠BDO,∠AOC=∠BOD,
∴△AOC∽△BOD.
∵∠PCA+∠ACD=180°,∠ACD+∠ABD=180°,
∴∠PCA=∠PBD,又∠P=∠P,
∴△PCA∽△PBD.C选项不一定成立.

2. 在△ABC中,P是AB上的动点(P异于A,B),过点P的一条直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线. 如图,∠A= 36°,AB= AC,当点P在AC的垂直平分线上时,过点P的△ABC的相似线最多有( )


A.1条
B.2条
C.3条
D.4条

答案： C　如图，过点P作PD//BC,则有△APD∽△ABC;连接PC并延长，易知PC平分∠ACB,则有△CPB∽△ABC;过点P作PE//AC,则有△PBE∽△ABC,所以符合题意的相似线最多有3条.

3. 如图,在等边三角形ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,且∠ADE= 60°,BD= 3,CE= 2,则△ABC的边长为( )


A.9
B.12
C.15
D.18

答案： A　因为△ABC是等边三角形，所以AB=BC,∠B=∠C=60°.由∠ADE=60°,得∠ADB+∠EDC=120°,又因为∠ADB+∠BAD=120°,所以∠BAD=∠EDC.所以△ABD∽△DCE;则$\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{CE}$,设AB=BC=x,即$\frac{x}{x−3}=\frac{3}{2}$,解得x=9.