《2025年同步测控优化设计九年级数学全一册人教版福建专版》

8. 已知函数 $ y_1 = -\frac{1}{3}x^2 $,$ y_2 = -\frac{1}{3}x^2 + 3 $ 和 $ y_3 = -\frac{1}{3}x^2 - 1 $,$ y_4 = -\frac{1}{3}x^2 + 6 $。
(1)分别画出它们的图象；
(2)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)试说明函数 $ y_2 = -\frac{1}{3}x^2 + 3 $,$ y_3 = -\frac{1}{3}x^2 - 1 $,$ y_4 = -\frac{1}{3}x^2 + 6 $ 的图象分别由抛物线 $ y_1 = -\frac{1}{3}x^2 $ 作怎样的平移才能得到？

答案：
解
(1)函数图象如下图,从上到下依次为函数$y_{4}=-\frac {1}{3}x^{2}+6$,$y_{2}=-\frac {1}{3}x^{2}+3$,$y_{1}=-\frac {1}{3}x^{2}$,$y_{3}=-\frac {1}{3}x^{2}-1$的图象.

(2)如下表:
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
$y_{1}=-\frac {1}{3}x^{2}$ 向下 y轴 $(0,0)$
$y_{2}=-\frac {1}{3}x^{2}+3$ 向下 y轴 $(0,3)$
$y_{3}=-\frac {1}{3}x^{2}-1$ 向下 y轴 $(0,-1)$
$y_{4}=-\frac {1}{3}x^{2}+6$ 向下 y轴 $(0,6)$
(3)分别由抛物线$y_{1}=-\frac {1}{3}x^{2}$向上平移3个单位长度、向下平移1个单位长度、向上平移6个单位长度得到.

9. 已知直线 $ y = 2x $ 与抛物线 $ y = ax^2 + 3 $ 相交于点 $ (2, b) $。
(1)求 $ a $,$ b $ 的值；
(2)若直线 $ y = 2x $ 上纵坐标为 2 的点为 $ A $,抛物线 $ y = ax^2 + 3 $ 的顶点为 $ B $,求 $ S_{\triangle AOB} $。

答案： 解
(1)因为点$(2,b)$在直线$y=2x$上,所以$b=4$.又因为点$(2,b)$即点$(2,4)$在抛物线$y=ax^{2}+3$上,所以$4a+3=4$.所以$a=\frac {1}{4}$.
(2)在$y=2x$中,令$y=2$,则$x=1$,所以$A(1,2)$.又因为抛物线$y=\frac {1}{4}x^{2}+3$的顶点B为$(0,3)$,所以$S_{\triangle AOB}=\frac {1}{2}OB\cdot |x_{A}|=\frac {1}{2}×3×1=\frac {3}{2}$.

1. (1) 抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 与 $ y = ax^2 $ 的形状大小、开口方向都完全____,但____和____不同。
(2) 抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 的顶点坐标为____,对称轴是____。
(3) 抛物线 $ y = ax^2 $ 向左平移 $ h $ 个单位长度,即为抛物线____,抛物线 $ y = ax^2 $ 向右平移 $ h $ 个单位长度,即为抛物线____。

答案： 1.
(1)相同　顶点　对称轴　
(2)$(h,0)$　$x = h$　
(3)$y = a(x + h)^{2}$　$y = a(x - h)^{2}$

2. 抛物线 $ y = -4x^2 $ 与 $ y = -\frac{1}{4}(x - 1)^2 $ 共有的性质是( )

A.开口向上
B.对称轴都是 $ y $ 轴
C.都有最高点
D.顶点坐标为原点

答案： 2.C

3. 一般地,抛物线 $ y = a(x - h)^2 + k $ 与 $ y = ax^2 $ 形状相同,位置不同。把抛物线 $ y = ax^2 $ 向上(下)、向左(右)____,可以得到抛物线 $ y = a(x - h)^2 + k $。平移的方向、距离要根据____的值来决定。

答案： 3.平移　$h,k$

4. 抛物线 $ y = (x + 2)^2 - 4 $ 的开口向____,对称轴为____,顶点坐标为____,它可以看作是由抛物线 $ y = x^2 $ 先向____平移 2 个单位长度,再向____平移 4 个单位长度得到。

答案： 4.上　直线$x = - 2$　$(-2,-4)$　左　下