《2025年同步测控优化设计九年级数学全一册人教版福建专版》

4. 在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C= ∠F= 90°,下列条件不能判定这两个三角形相似的是( )

A.∠A= 55°,∠D= 35°
B.AC= 9,BC= 12,DF= 6,EF= 8
C.AC= 3,BC= 4,DF= 6,DE= 8
D.AB= 10,BC= 6,DE= 15,EF= 9

答案： C　选项A,
∵∠A=55°,
∴∠B=90°−55°=35°.
∵∠D=35°,
∴∠B=∠D.
∵∠C=∠F,
∴△ABC∽△DEF;选项B,
∵AC=9,BC=12,DF=6,EF=8,
∴$\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{3}{2}$.又∠C=∠F,
∴△ABC∽△DEF;选项C，有一组角相等，两边对应成比例，但相等的两个角不是成比例的两边的夹角，故不相似;选项D,
∵AB=10,BC=6,DE=15,EF=9,∠C=∠F=90°,
∴AC=8,DF=12,
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=\frac{2}{3}$,
∴△ABC∽△DEF;故选C.

5. 如图,在平面直角坐标系中有两点A(4,0),B(0,2),如果点C在x轴上(C与A不重合),当点C的坐标为____或____时,使得由点B,O,C组成的三角形与△AOB相似.(全等除外,填写出满足条件的点的坐标)

答案： (1,0)　(−1,0)

6. 如图,直线y= -2x+4与x轴、y轴分别相交于A,B两点,C为OB上一点,且∠1= ∠2,则S△ABC= ____.

答案： 3　由已知得OA=2,OB=4,又∠1=∠2,∠AOB=∠AOC,所以△AOC∽△BOA.所以$\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OA}$,即$\frac{2}{4}=\frac{OC}{2}$,所以OC=1,BC=OB−OC=3.于是得$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot OA=3$.

7. 如图,已知∠ACB= ∠ADC= 90°,AC= $\sqrt{6}$,AD= 2,问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似？

答案： 解在Rt△ACD中,AC=$\sqrt{6}$,AD=2,由勾股定理，得CD=$\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{2}$.当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$，所以AB=$\frac{AC^2}{AD}=3$.当Rt△ABC∽Rt△CAD时，有$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{AC}$，所以AB=$\frac{AC^2}{CD}=3\sqrt{2}$.故当AB的长为3或$3\sqrt{2}$时，这两个直角三角形相似.

8. 如图,△ABC是等边三角形,CE是外角的角平分线,点D在AC上,连接BD并延长与CE交于点E.

(1)求证：△ABD∽△CED；
(2)若AB= 6,AD= 2CD,求BE的长.

答案：
(1)证明
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°,∠ACF=120°.
∵CE是外角平分线,
∴∠ACE=60°,
∴∠BAC=∠ACE;又∠ADB=∠CDE,
∴△ABD∽△CED.
(2)解作BM⊥AC于点M，
∵AC=AB=6,
∴AM=CM=3,BM=$\sqrt{AB^2-AM^2}=3\sqrt{3}$.
∵AD=2CD,
∴CD=2,AD=4,MD=1.在Rt△BDM中,BD=$\sqrt{BM^2+MD^2}=2\sqrt{7}$.由
(1)知△ABD∽△CED,得$\frac{BD}{ED}=\frac{AD}{CD}$,$\frac{2\sqrt{7}}{ED}=2$,
∴ED=$\sqrt{7}$,
∴BE=BD+ED=$3\sqrt{7}$.

★9. 如图,在△ABC中,AB= AC= 1,点D,E在直线BC上运动,点D在线段BC的左侧,点E在线段BC的右侧. 设BD= x,CE= y.

(1)如果∠BAC= 30°,∠DAE= 105°,试确定y与x之间的函数关系式；
(2)如果∠BAC的度数为α,∠DAE的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中的y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由.

答案：
(1)
∵∠BAC=30°,∠DAE=105°,
∴∠DAB+∠ADB=$\frac{1}{2}(180°-30°)=75°$,∠DAB+∠EAC=105°-30°=75°,
∴∠ADB=∠EAC;又∠ABD=∠ACE=180°-75°=105°,
∴△ABD∽△ECA,
∴$\frac{BD}{AC}=\frac{AB}{CE}$,$\frac{x}{1}=\frac{1}{y}$,即xy=1.
(2)要使xy=1还成立,即△ABD∽△ECA,此时∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}(180°-\alpha)$,即∠ADB+∠DAB=$\frac{1}{2}(180°-\alpha)$.
∵∠ADB=∠EAC,
∴∠EAC+∠DAB=$\frac{1}{2}(180°-\alpha)$.
∴$\beta-\alpha=\frac{1}{2}(180°-\alpha)$,$\beta=90°+\frac{1}{2}\alpha$.故当α,β满足关系式$\beta=90°+\frac{1}{2}\alpha$时,
(1)中y与x 之间的函数关系式还成立