《2025年同步测控优化设计九年级数学全一册人教版福建专版》

1. 下列方程中,两个实数根之和为 $2$ 的一元二次方程是( )

A.$x^{2}+2x - 3 = 0$
B.$x^{2}-2x + 3 = 0$
C.$x^{2}-2x - 3 = 0$
D.$x^{2}+2x + 3 = 0$

答案： C

2. 已知 $x_{1},x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+bx - 3 = 0$ 的两根,且满足 $x_{1}+x_{2}-3x_{1}x_{2}= 5$,则 $b$ 的值为( )

A.$4$
B.$-4$
C.$3$
D.$-3$

答案： A

3. 已知 $x_{1},x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2x - 1 = 0$ 的两根,则 $\frac{1}{x_{1}x_{2}}= $____.

答案： -1

4. 设 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程 $2x^{2}+3x - 4 = 0$ 的两个实数根,则 $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$ 的值为____.

答案： $\dfrac{3}{4}$ 根据题意,得$x_{1}+x_{2}=-\dfrac{3}{2}$,$x_{1}x_{2}=-2$,所以$\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\dfrac{-\dfrac{3}{2}}{-2}=\dfrac{3}{4}$.

5. 已知方程 $x^{2}+3x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $\alpha,\beta$,不解方程求下列各式的值.
(1)$\alpha^{2}+\beta^{2}$；
(2)$\alpha^{3}\beta+\alpha\beta^{3}$；
(3)$\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}$.

答案： 解 因为$\alpha,\beta$是方程$x^{2}+3x - 1 = 0$的两个实数根,所以$\alpha+\beta=-3$,$\alpha\beta=-1$.
(1)$\alpha^{2}+\beta^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta=(-3)^{2}-2×(-1)=11$.
(2)$\alpha^{3}\beta+\alpha\beta^{3}=\alpha\beta(\alpha^{2}+\beta^{2})=(-1)×11=-11$.
(3)$\dfrac{\beta}{\alpha}+\dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{\alpha\beta}=\dfrac{11}{-1}=-11$.