《2025年同步测控优化设计九年级数学全一册人教版福建专版》

2. 在 $ \odot O $ 中,直径 $ A B = 15 $,弦 $ D E \perp A B $ 于点 $ C $,若 $ O C : O B = 3 : 5 $,则 $ D E $ 的长为( )

A.$ 6 $
B.$ 9 $
C.$ 12 $
D.$ 15 $

答案： C

3. 如图,$ \odot O $ 的直径 $ A B $ 垂直于弦 $ C D $,垂足为 $ E $,$ \angle A = 15 ^ { \circ } $,半径为 $ 2 $,则弦 $ C D $ 的长为( )


A.$ 2 $
B.$ 1 $
C.$ \sqrt { 2 } $
D.$ 4 $

答案： A
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE,∠CEO=90°.
∵∠A=15°,OA=OC,
∴∠COE=30°.
∵OC=2,
∴CE= $\frac{1}{2}$OC=1,
∴CD=2CE=2,故选A.

4. 在直径为 $ 650 \mathrm { mm } $ 的圆柱形油槽内装入一些油后,平行于圆柱底面的截面如图,若油面宽为 $ 600 \mathrm { mm } $,求油的最大深度。

答案： 解 作OD⊥AB,交⊙O于点D，垂足为C,连接AO.
∵OD⊥AB,OD为半径，
∴AC=BC= $\frac{1}{2}$AB= $\frac{1}{2}$×600=300(mm).
在Rt△AOC中,OC= $\sqrt{AO^2-AC^2}$= $\sqrt{(\frac{650}{2})^2-300^2}$=125(mm),
∴CD= $\frac{650}{2}$-125=200(mm).
∴油的最大深度为200mm.

1. 如图,$ A B $ 是 $ \odot O $ 的弦,半径 $ O A = 2 $,$ \angle A O B = 120 ^ { \circ } $,则弦 $ A B $ 的长为( )

A.$ 2 \sqrt { 2 } $
B.$ 2 \sqrt { 3 } $
C.$ \sqrt { 5 } $
D.$ 3 \sqrt { 2 } $

答案： B

2. 如图,$ \odot O $ 的半径 $ O A = 6 $,以 $ A $ 为圆心,$ O A $ 为半径的弧交 $ \odot O $ 于 $ B $,$ C $ 点,则 $ B C $ 等于( )

A.$ 6 \sqrt { 3 } $
B.$ 6 \sqrt { 2 } $
C.$ 3 \sqrt { 3 } $
D.$ 3 \sqrt { 2 } $

答案： A

3. 已知 $ A B $ 是 $ \odot O $ 的弦,$ O M \perp A B $,垂足为 $ M $,连接 $ O A $。若 $ \triangle A O M $ 中有一个角是 $ 30 ^ { \circ } $,$ O M = 2 \sqrt { 3 } $,则弦 $ A B $ 的长为____。

答案： 12或4

★4. 小敏利用课余时间制作了一个脸盆架,它的截面图如图所示,垂直放置的脸盆与架子的交点为 $ A $,$ B $,$ A B = 40 \mathrm { cm } $,脸盆的最低点 $ C $ 到 $ A B $ 的距离为 $ 10 \mathrm { cm } $,则该脸盆的半径为____ $ \mathrm { cm } $。

答案： 25　设圆心为O,连接OB,OC,则OC⊥AB,设垂足为点D,圆的半径为r.由垂径定理，得BD=20,OD=r-10,根据勾股定理,得(r-10)²+20²=r²,解得r=25.

5. 如图,在 $ \odot O $ 中,$ O D $ 平分弦 $ A B $,$ O E $ 平分弦 $ A C $,求证：$ A M = A N $。

答案： 证明
∵OD平分弦AB，OE平分弦AC，
∴OD⊥AB,OE⊥AC.
∴∠D+∠DMB=90°,∠E+∠ENC=90°.
∵OD=OE,
∴∠D=∠E;
∴∠DMB=∠ENC,即∠AMN=∠ANM.
∴AM=AN.