《2025年同步测控优化设计九年级数学全一册人教版福建专版》

1. 已知$\odot O的半径为R$,直线$l和\odot O$有公共点,若圆心到直线$l的距离是d$,则$d与R$的大小关系是( )

A.$d ＞ R$
B.$d ＜ R$
C.$d\geq R$
D.$d\leq R$

答案： D

2. 已知$\odot O的直径为5$,直线$l与\odot O$相交,圆心$O到直线l的距离是d$,则$d$的取值范围是( )

A.$4 ＜ d ＜ 5$
B.$d ＞ 5$
C.$2.5 ＜ d ＜ 5$
D.$0\leq d ＜ 2.5$

答案： D

3. 已知$\odot O的半径为5$,圆心$O到直线AB的距离为2$,则$\odot O上到直线AB的距离为3$的点的个数为( )

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： C

4. 如图,在平面直角坐标系中,$\odot O的半径为1$,则直线$y = -x + \sqrt{2}和\odot O$的位置关系是( )


A.相离
B.相交
C.相切
D.以上三种情形都有可能

答案： C　直线y=-x+√2与x轴的交点A的坐标为(√2,0),与y轴的交点B的坐标为(0,√2),则AB=2,△ABO的面积为1.由等面积法得点O到直线y=-x+√2的距离为1.因此d=r,故相切.

5. 已知直线$l与\odot O$相切,若圆心$O到直线l的距离是5$,则$\odot O$的半径是______。

答案： 5

6. 如图,$\odot O的半径OC = 10\mathrm{cm}$,直线$l\perp CO$,垂足为$H$,交$\odot O于A$,$B$两点,$AB = 16\mathrm{cm}$,为使直线$l与\odot O$相切,则需把直线$l$______。

答案： 向左平移4cm或向右平移16cm　连接OA,设CO的延长线交⊙O于点D.因为l⊥OC,所以OC平分AB.所以AH=8cm 在Rt△AHO中,OH=√(AO² - AH²)=√(10² - 8²)=6(cm),所以CH=4cm,DH=16cm.所以把直线l向左平移4cm或向右平移16cm时可与圆相切.

7. 如图,给定一个半径为$2$的圆,圆心$O到水平直线l的距离为d$,即$OM = d$。我们把圆上到直线$l的距离等于1的点的个数记为m$。如$d = 0$时,$l为经过圆心O$的一条直线,此时圆上有四个到直线$l的距离等于1$的点,即$m = 4$。由此可知：
(1)当$d = 3$时,$m = $______；
(2)当$m = 2$时,$d$的取值范围是______。

答案：
(1)1　
(2)1＜d＜3　
(1)当d=3时,由于圆的半径为2,故只有圆与OM的交点符合题意，所以m=1;
(2)当m=2时,即圆上到直线l的距离等于1的点的个数为2,当d＜1时,m=4,当d=1时,m=3,当d=3时,m=1,当d＞3时,m=0,故m=2时,1＜d＜3.

8. 如图,$\angle AOB = 60^{\circ}$,$M为OB$上的一点,$OM = 5$,若以$M$为圆心,$2.5为半径画\odot M$,请通过计算说明$OA和\odot M$不相切。

答案： 解 如图,过点M作MC⊥OA于点C.在Rt△OMC中,∠AOB=60°,
∴∠OMC=30°.
∴OC=1/2OM=2.5.
∴MC=√(5² - 2.5²)=5√3/2＞2.5,即⊙M和OA不相切.

★9. 已知等边三角形$ABC的面积为3\sqrt{3}$,若以$A为圆心的圆和BC所在的直线l$：(1)没有公共点；(2)有唯一的公共点；(3)有两个公共点。求这三种情况下$\odot A的半径r$的取值范围。

答案： 解 过点A作AD⊥BC,垂足为D,得BD=1/2BC.在Rt△ABD中,由勾股定理,得AD=√(AB² - BD²)=√(BC² - (1/2BC)²)=(√3/2)BC.由三角形面积公式,得1/2BC·AD=1/2BC·(√3/2)BC=3√3,所以BC=2√3.所以AD=(√3/2)BC=3.
(1)当⊙A和直线l没有公共点时,r＜AD,即0＜r＜3(如图①);
(2)当⊙A和直线l有唯一公共点时,r=AD,即r=3(如图②);
(3)当⊙A和直线l有两个公共点时,r＞AD,即r＞3(如图③).