《2025年同步测控优化设计九年级数学全一册人教版福建专版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$DE// FG// BC$,则图中共有相似三角形( )

A.1对
B.2对
C.3对
D.4对

答案： C $\triangle ADE\backsim\triangle AFG$,$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$,$\triangle AFG\backsim\triangle ABC$,应选C

2. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D在BC$边上,连接$AD$,点$E在AC$边上,过点$E作EF// BC$,交$AD于点F$,过点$E作EG// AB$,交$BC于点G$,则下列式子一定正确的是( )

A.$\frac{AE}{EC}= \frac{EF}{CD}$
B.$\frac{EF}{CD}= \frac{EG}{AB}$
C.$\frac{AF}{FD}= \frac{BG}{GC}$
D.$\frac{CG}{BC}= \frac{AF}{AD}$

答案： C

★3. 如图,已知$AD为\triangle ABC$的角平分线,$DE// AB交AC于点E$。如果$\frac{AE}{EC}= \frac{2}{3}$,那么$\frac{AB}{AC}$等于( )

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{3}{5}$

答案： B $\because AD$为$\triangle ABC$的角平分线,$\therefore\angle BAD=\angle DAE$. 又$AB// DE$,$\therefore\angle BAD=\angle ADE$, $\therefore\angle DAE=\angle ADE$,$\therefore AE=ED$. 又$\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}$,设$AE=2a$,$EC=3a$,$\therefore ED=2a$,$AC=5a$. $\because\triangle DCE\backsim\triangle BCA$,$\therefore\frac{CE}{AC}=\frac{ED}{AB}$,即$\frac{3a}{5a}=\frac{2a}{AB}$. $\therefore AB=\frac{10a}{3}$. $\therefore\frac{AB}{AC}=\frac{\frac{10a}{3}}{5a}=\frac{2}{3}$

4. 如图,$AB// GH// CD$,点$H在BC$上,$AC与BD交于点G$,$AB = 2$,$BG:DG = 2:3$,则$GH$的长为____。

答案： $\frac{6}{5}$ $\because AB// GH// CD$,$\therefore AG:GC=BG:DG=2:3$, $\therefore GC:AC=3:5$. $\because AB// GH$,$\therefore\triangle GHC\backsim\triangle ABC$, $\therefore GC:AC=GH:AB$,即$3:5=GH:2$, 解得$GH=\frac{6}{5}$

5. 在$\triangle ABC$中,$AB = 6$,$AC = 9$,点$D在边AB$所在的直线上,且$AD = 2$,过点$D作DE// BC$,交边$AC所在直线于点E$,则$CE$的长为____。

答案： 6或12

6. 如图,已知$ED// GH// BC$。

(1)若$EC = 5$,$HC = 2$,$DG = 4$,求$BG$的值；
(2)若$AE = 4$,$AC = 6$,$AD = 5$,求$BD$的值。

答案： 解
(1)$EH=EC-HC=3$. $\because ED// GH// BC$, $\therefore EH:HC=DG:BG$,即$3:2=4:GB$, 解得$BG=\frac{8}{3}$.
(2)$\because ED// BC$, $\therefore BA:AD=CA:AE$,即$BA:5=6:4$,解得$BA=\frac{15}{2}$. $\therefore BD=\frac{15}{2}+5=\frac{25}{2}$

7. 如图,已知$EC// AB$,$\angle EDA= \angle ABF$。求证：

(1)四边形$ABCD$为平行四边形；
(2)$OA^2 = OE\cdot OF$。

答案： 证明
(1)$\because EC// AB$,$\therefore\angle C=\angle ABF$. 又$\angle EDA=\angle ABF$,$\therefore\angle C=\angle EDA$. $\therefore AD// BC$, $\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形.
(2)$\because EC// AB$,$\therefore\frac{OA}{OE}=\frac{OB}{OD}$. 又$AD// BC$,$\therefore\frac{OF}{OA}=\frac{OB}{OD}$, $\therefore\frac{OA}{OE}=\frac{OF}{OA}$,$\therefore OA^{2}=OE\cdot OF$