《2025年同步测控优化设计九年级数学全一册人教版福建专版》

1. 如图,用一个半径为 $ 5 cm $ 的定滑轮带动重物上升,滑轮上一点 $ P $ 旋转了 $ 108^{\circ} $,假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动,则重物上升了( )


A.$ \pi cm $
B.$ 2\pi cm $
C.$ 3\pi cm $
D.$ 5\pi cm $

答案： C　当滑轮上一点P旋转了$108^{\circ}$时，重物上升的距离就是P旋转的弧长，即上升的距离$h=l=\frac{n\pi r}{180}=\frac{108×\pi×5}{180}=3\pi(cm)$.

2. 如图,以 $ AB $ 为直径,点 $ O $ 为圆心的半圆经过点 $ C $,若 $ AC = BC = \sqrt{2} $,则图中阴影部分的面积是( )


A.$ \frac{\pi}{4} $
B.$ \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} $
C.$ \frac{\pi}{2} $
D.$ \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2} $

答案： A　$\because AB$为直径，$\therefore\angle ACB=90^{\circ}$.
又$AC=BC=\sqrt{2}$，O是AB的中点，
$\therefore AB=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=2$，$CO\perp AB$，
$\therefore AO=OB=1$，$\angle AOC=90^{\circ}$.
在$\triangle AOC$与$\triangle BOC$中，$AC=BC$，$AO=BO$，$OC=OC$，$\therefore\triangle AOC\cong\triangle BOC$，$\therefore$阴影部分的面积=扇形AOC的面积$=\frac{90\pi×1^{2}}{360}=\frac{\pi}{4}$.

3. 若一个扇形的面积是 $ 13\pi cm^{2} $,半径是 $ 6 cm $,则此扇形的圆心角是______.

答案： $130^{\circ}$

4. 如图,在 $ □ ABCD $ 中,$ \angle B = 60^{\circ} $,$ \odot C $ 的半径为 $ 3 $,则图中阴影部分的面积是______.

答案： $3\pi$ 在$□ ABCD$中，$\because\angle B=60^{\circ}$，$\therefore\angle C=120^{\circ}$.
$\because\odot C$的半径为3，
$\therefore$图中阴影部分的面积是$\frac{120×\pi×3^{2}}{360}=3\pi$.

5. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ \angle B = 30^{\circ} $,$ BC = 6 $,三角形绕直角顶点 $ C $ 逆时针旋转,当点 $ A $ 的对应点 $ A' $ 落在 $ AB $ 边的起始位置上时即停止转动,则点 $ B $ 转过的路径长为______.

答案： $2\pi$

6. 如图,$ AB $ 是半圆的直径,$ AB = 2R $,$ C $,$ D $ 为半圆的三等分点,求阴影部分的面积.

答案： 解 $\because\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，$\therefore\angle CDA=\angle DAB$，即$CD// AB$.
$\therefore S_{\triangle ACD}=S_{\triangle OCD}$.
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形OCD}=\frac{n\pi R^{2}}{360}=\frac{60\pi R^{2}}{360}=\frac{\pi R^{2}}{6}$.

1. 如果一个扇形的弧长等于它的半径,那么此扇形称为“等边扇形”,则半径为 $ 2 $ 的“等边扇形”的面积为( )

A.$ \pi $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ \frac{2\pi}{3} $

答案： C　使用扇形的面积公式$S=\frac{1}{2}lR$可求出其面积，即$S=\frac{1}{2}×2×2=2$.

2. 如图,在扇形 $ OAB $ 中,已知 $ \angle AOB = 90^{\circ} $,$ OA = \sqrt{2} $,过 $ \overset{\frown}{AB} $ 的中点 $ C $ 作 $ CD \perp OA $,$ CE \perp OB $,垂足分别为 $ D $,$ E $,则图中阴影部分的面积为( )


A.$ \pi - 1 $
B.$ \frac{\pi}{2} - 1 $
C.$ \pi - \frac{1}{2} $
D.$ \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} $

答案： B