《2025年同步测控优化设计九年级数学全一册人教版福建专版》

5. 用配方法解方程 $x^{2}-2x-5= 0$.

答案： 解 移项,得$x^{2}-2x=5$,配方,得$x^{2}-2x+1=5+1$,即$(x-1)^{2}=6$.于是$x-1=\pm \sqrt{6}$.故$x_{1}=1+\sqrt{6}$,$x_{2}=1-\sqrt{6}$.

6. 阅读理解：解方程 $4x^{2}-6x-3= 0$.
解：$4x^{2}-6x-3= 0$,
配方,得 $4x^{2}-6x+(\frac{-6}{2})^{2}-(\frac{-6}{2})^{2}-3= 0$,
即 $4x^{2}-6x+9= 12$.
故 $(2x-3)^{2}= 12$.
即 $x_{1}= \sqrt{3}+\frac{3}{2},x_{2}= -\sqrt{3}+\frac{3}{2}$.
以上解答过程出错的原因是什么？请写出正确的解答过程.

答案： 解 错在没有把二次项系数化为1.正解:原式可化为$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{3}{4}$,配方,得$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{3}{4}+\frac{9}{16}$,即$(x-\frac{3}{4})^{2}=\frac{21}{16}$,$x-\frac{3}{4}=\pm \frac{\sqrt{21}}{4}$,得$x_{1}=\frac{3+\sqrt{21}}{4}$,$x_{2}=\frac{3-\sqrt{21}}{4}$.

1. 若将一元二次方程 $x^{2}-8x-5= 0$ 化成 $(x+a)^{2}= b$ ($a,b$ 为常数)的形式,则 $a,b$ 的值分别是( )

A.$-4,21$
B.$-4,11$
C.$4,21$
D.$-8,69$

答案： A

2. 一元二次方程 $y^{2}-y-\frac{3}{4}= 0$ 配方后可化为( )

A.$(y+\frac{1}{2})^{2}= 1$
B.$(y-\frac{1}{2})^{2}= 1$
C.$(y+\frac{1}{2})^{2}= \frac{3}{4}$
D.$(y-\frac{1}{2})^{2}= \frac{3}{4}$

答案： B

3. 已知一个三角形的两边长分别为 3 和 6,第三边长是方程 $x^{2}-10x+21= 0$ 的根,则该三角形的周长为____.

答案： 16

4. 方程 $(x-3)^{2}= (5x+2)^{2}$ 的解为____.

答案： $x_{1}=-\frac{5}{4}$,$x_{2}=\frac{1}{6}$ 直接开平方,得$x-3=\pm (5x+2)$,故$x-3=5x+2$或$x-3=-5x-2$,解得$x_{1}=-\frac{5}{4}$,$x_{2}=\frac{1}{6}$.

5. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}= b(ab＞0)$ 的两个根分别是 $m+1$ 与 $2m-4$,则 $\frac{b}{a}= $____.

答案： 4 由题意,得$x^{2}=\frac{b}{a}(ab＞0)$,$\therefore x=\pm \sqrt{\frac{b}{a}}$,即方程的两个根互为相反数,$\therefore m+1+2m-4=0$,解得$m=1$,则一元二次方程$ax^{2}=b(ab＞0)$的两个根分别是2与-2,故$\sqrt{\frac{b}{a}}=2$,$\frac{b}{a}=4$.

6. 对于 4 个数 $a,b,c,d$,定义了一种新运算 $\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad-bc$. 若 $\begin{vmatrix}x+1&x-1\\1-x&x+1\end{vmatrix} = 6$,则 $x= $____.

答案： $\pm \sqrt{2}$ 由题意得$\begin{vmatrix} x+1&x-1\\ 1-x&x+1\end{vmatrix} =(x+1)^{2}-(x-1)(1-x)$,故$(x+1)^{2}-(x-1)(1-x)=6$,解得$x=\pm \sqrt{2}$.

7. 用配方法解下列方程：
(1)$x^{2}+4x-4= 0$；
(2)$x^{2}+3x-18= 0$；
(3)$2x^{2}-7x+6= 0$.

答案：
(1)移项,得$x^{2}+4x=4$,配方,得$x^{2}+4x+4=4+4$,即$(x+2)^{2}=8$,于是$x+2=\pm 2\sqrt{2}$.故$x_{1}=-2+2\sqrt{2}$,$x_{2}=-2-2\sqrt{2}$.
(2)移项,得$x^{2}+3x=18$,配方,得$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=18+\frac{9}{4}$,即$(x+\frac{3}{2})^{2}=\frac{81}{4}$,于是$x+\frac{3}{2}=\pm \frac{9}{2}$.故$x_{1}=3$,$x_{2}=-6$.
(3)原式可化为$x^{2}-\frac{7}{2}x=-3$,配方,得$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-3+\frac{49}{16}$,即$(x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{1}{16}$.于是$x-\frac{7}{4}=\pm \frac{1}{4}$,故$x_{1}=2$,$x_{2}=\frac{3}{2}$.

★8. 试说明：不论 $m$ 为何实数,关于 $x$ 的方程 $(m^{2}-8m+17)x^{2}+2mx+1= 0$ 都是一元二次方程.

答案： 解 因为$m^{2}-8m+17=(m-4)^{2}+1＞0$,所以不论m为何实数,关于x的方程$(m^{2}-8m+17)x^{2}+2mx+1=0$都是一元二次方程.