《2025年同步测控优化设计九年级数学全一册人教版福建专版》

3. 一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图①),拱高为$6m$,跨度为$20m$,相邻两支柱间的距离均为$5m$。
(1)将抛物线放在所给的平面直角坐标系中(如图②),求抛物线的解析式。
(2)求支柱$EF$的长度。
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽$2m$的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽为$2m$、高为$3m$的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由。

答案： 解
(1)根据题目条件，A，B，C的坐标分别是(-10,0)，(10,0)，(0,6).设抛物线的解析式为y=ax²+c，将B，C的坐标代入y=ax²+c，得{c=6，100a+c=0，解得{a=-3/50，c=6.所以抛物线的解析式是y=-(3/50)x²+6.
(2)可设F(5,y_F)，于是y_F=-(3/50)×5²+6=4.5.从而支柱EF的长度是10-4.5=5.5(m).
(3)如图，设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和，则点G坐标是(7,0).过点G作GH⊥AB交抛物线于点H，则y_H=-(3/50)×7²+6≈3.06＞3.根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.

4. 如图,某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分,抛物线的顶点$O$落在水平面上,对称轴是水平线$OC$。点$A$,$B$在抛物线上,且点$A到水平面的距离AC = 4m$,点$B到水平面的距离为2m$,$OC = 8m$。
(1)请建立适当的平面直角坐标系,求抛物线的函数解析式；
(2)为了既安全又美观,现需在水平线$OC上找一点P$,如果用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱$PA$,$PB$对抛物线造型进行支撑加固,那么怎样才能找到两根支柱用料最省(支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑)时的点$P$？(无须证明)
(3)为了施工方便,如果现需计算出点$O$,$P$之间的距离,那么两根支柱用料最省时点$O$,$P$之间的距离是多少？(请写出求解过程)

答案： 解
(1)以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，如图，设抛物线的函数解析式为y=ax²，由题意知点A的坐标为(4,8).因为点A在抛物线上，所以8=4²a，解得a=1/2.所以所求抛物线的函数解析式为y=(1/2)x².
(2)找法:延长AC，交抛物线于点D，则点A，D关于OC对称.连接BD交OC于点P，则点P即为所求.
(3)由题意知，点B的横坐标为2，因为点B在抛物线上，所以点B的坐标为(2,2).又点A的坐标为(4,8)，所以点D的坐标为(-4,8).设直线BD的函数解析式为y=kx+b，则{2k+b=2，-4k+b=8，解得k=-1，b=4.所以直线BD的函数解析式为y=-x+4，把x=0代入y=-x+4，得点P的坐标为(0,4)，因此两根支柱用料最省时，点O，P之间的距离是4m.