《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

8. 如图,二次函数 $ y = x^2 + bx + c $ 的图象过点 $ A(1,0) $,$ C(0,-3) $。
(1)求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；
(2)设点 $ P $ 是该函数图象上的动点,且 $ \triangle ABP $ 的面积等于 $ \triangle ABC $ 面积的 $ \frac{5}{3} $,求点 $ P $ 的坐标。

答案： 解：
(1)根据题意，得$ \begin{cases} 1+b+c=0, \\ c=-3. \end{cases} $
解得$ b=2,c=-3 $.
∴该二次函数的表达式为$ y=x^2+2x-3 $.
∵$ y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4 $，
∴顶点坐标为$ (-1,-4) $.
(2)当$ y=0 $时，$ x^2+2x-3=0 $.
解得$ x_1=-3,x_2=1 $，则B(-3,0),A(1,0).
∴AB=4.
又
∵C(0,-3)，
∴△ABC的面积为$ \frac{1}{2}×4×3=6 $.
∵△ABP的面积等于△ABC面积的$ \frac{5}{3} $，
∴△ABP的面积为$ \frac{5}{3}×6=10 $.
∴$ \frac{1}{2}×4×|y_p|=10 $，
∴$ |y_p|=5 $，
∴$ y_p=\pm5 $.
当$ y_p=5 $时，解方程$ x^2+2x-3=5 $，得$ x_1=-4 $，
$ x_2=2 $.
此时P点的坐标为(-4,5),(2,5).
当$ y_p=-5 $时，方程$ x^2+2x-3=-5 $没有实数解.
∴P点的坐标为(-4,5),(2,5).

9. 如图,已知经过原点 $ O $ 的抛物线 $ y = ax^2 + bx(a \neq 0) $ 与 $ x $ 轴交于另一点 $ A(\frac{3}{2},0) $,在第一象限内与直线 $ y = x $ 交于点 $ B(2,t) $,求这条抛物线对应函数的表达式。

答案： 解：
∵B(2,t)在直线$ y=x $上，
∴$ t=2 $.
∴B(2,2).
把A,B两点的坐标代入$ y=ax^2+bx $，得
$ \begin{cases} 4a+2b=2, \\ \frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b=0. \end{cases} $解得$ \begin{cases} a=2, \\ b=-3. \end{cases} $
∴这条抛物线对应函数的表达式为$ y=2x^2-3x $.