《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

4. 如图,一艘海轮位于灯塔$P北偏东55^{\circ}$的方向,距离灯塔$2海里的点A$处. 如果这艘海轮沿正南方向航行到灯塔$P$的正东方向,那么这艘海轮航行的距离$AB$为(C)

A.$2$海里
B.$2\sin55^{\circ}$海里
C.$2\cos55^{\circ}$海里
D.$2\tan55^{\circ}$海里

答案： C

例1 如图,已知水库大坝的横断面是梯形$ABCD$,坝顶宽$8$m,坝高$30$m,斜坡$AD的坡度i= \sqrt{3}:3$,斜坡$CB的坡度i' = 2:1$. 求坝底$AB的宽和斜坡AD$的长.

【点拨】作$DE\perp AB于点E$,$CF\perp AB于点F$. 根据斜坡的坡度和坝高,可求出$AE$,$BF$的长. 在$Rt\triangle ADE中利用勾股定理可求出AD$的长.

答案：
过点$D$作$DE\perp AB$于点$E$，过点$C$作$CF\perp AB$于点$F$。

$\because$斜坡$AD$的坡度$i = \sqrt{3}:3$，坝高$DE = 30$ $m$，
$\therefore\frac{DE}{AE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{30}{AE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore AE = 30\sqrt{3}$ $m$。
在$Rt\triangle ADE$中，由勾股定理得$AD=\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}=\sqrt{(30\sqrt{3})^{2}+30^{2}} = 60$ $m$。
$\because$斜坡$CB$的坡度$i^\prime = 2:1$，坝高$CF = 30$ $m$，
$\therefore\frac{CF}{BF}=\frac{2}{1}$，即$\frac{30}{BF}=\frac{2}{1}$，
$\therefore BF = 15$ $m$。
又$\because EF = DC = 8$ $m$，
$\therefore AB = AE + EF + BF=(30\sqrt{3}+8 + 15)=(30\sqrt{3}+23)$ $m$。
综上，坝底$AB$的宽为$(30\sqrt{3}+23)$ $m$，斜坡$AD$的长为$60$ $m$。

例2 如图,某船以每小时$36$海里的速度向正东方向航行,在$A点测得某岛C在北偏东60^{\circ}$方向上,航行半小时后到达$B$点,测得该岛在北偏东$30^{\circ}$方向上. 该岛周围$16$海里内有暗礁.

(1) 点$B$是否在暗礁区域外？
(2) 该船若继续向东航行有无触礁危险？
【点拨】通过作辅助线构造直角三角形,把条件和问题转化到这个直角三角形中,使问题得到解决.

答案：
答题卡：
(1) 过点$C$作$CD \perp AB$于点$D$，设$BC = x$海里。

在$Rt \bigtriangleup BCD$中：
$\angle CBD = 60^{\circ}$。
$BD = \frac{1}{2}x$海里，$CD = \frac{\sqrt{3}}{2}x$海里。
在$Rt \bigtriangleup ACD$中：
$\angle CAD = 30^{\circ}$。
$\tan \angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x}{18 + \frac{1}{2}x} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
解得$x = 18$。
$18＞16$，点$B$在暗礁区域外。
(2) $CD = \frac{\sqrt{3}}{2}x = 9\sqrt{3} \approx 15.588$海里$＜ 16$海里。
该船若继续向东航行有触礁的危险。