《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

6. 已知二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0) $,其几组对应值如下表：

若 $ 1 \lt m \lt 1\dfrac{1}{2} $,求一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 的两根 $ x_{1} $,$ x_{2} $ 的取值范围.

答案： 解:$\because 1＜m＜1\frac {1}{2}$,$\therefore -1＜m-2＜-\frac {1}{2}$,$\frac {1}{2}＜m-\frac {1}{2}＜1$.函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标就是方程$ax^{2}+bx+c=0$的根,函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象与x轴的交点的纵坐标为0.由表中数据知:$y=0$在$y=m-2$与$y=m-\frac {1}{2}$之间,故对应的x的值在-1与0或2与3之间,$\therefore -1＜x_{1}＜0$,$2＜x_{2}＜3$.

7. 在二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0) $ 中,$ y $ 与 $ x $ 的部分对应值如下表：

(1) 求这个二次函数的表达式.
(2) 当 $ x $ 满足什么条件时,$ y \lt 0 $?
(3) 当 $ x $ 满足什么条件时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小?

答案：
(1)设所求函数的表达式为$y=a(x-1)(x-3)$.把$(0,3)$代入,得$3=a(0-1)(0-3)$.解得$a=1$.$\therefore$所求函数的表达式为$y=(x-1)(x-3)$,即$y=x^{2}-4x+3$.
(2)当$1＜x＜3$时,$y＜0$.
(3)$\because$二次函数图象的对称轴为直线$x=2$,$\therefore$当$x＜2$时,y随x的增大而减小.

8. 已知二次函数 $ y = -\dfrac{3}{16}x^{2}+bx + c $ 的图象经过 $ A(0,3) $,$ B(-4,-\dfrac{9}{2}) $ 两点.
(1) 求 $ b $,$ c $ 的值；
(2) 二次函数 $ y = -\dfrac{3}{16}x^{2}+bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴是否有公共点？若有,求出公共点的坐标；若没有,请说明理由.

答案：
(1)把A,B的坐标分别代入$y=-\frac {3}{16}x^{2}+bx+c$,得$\left\{\begin{array}{l} c=3,\\ -\frac {3}{16}× 16-4b+c=-\frac {9}{2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} b=\frac {9}{8},\\ c=3.\end{array}\right.$
(2)由
(1)可得该函数的表达式为$y=-\frac {3}{16}x^{2}+\frac {9}{8}x+3$.$\Delta=(\frac {9}{8})^{2}-4×(-\frac {3}{16})×3=\frac {225}{64}＞0$,$\therefore$二次函数$y=-\frac {3}{16}x^{2}+bx+c$的图象与x轴有公共点.令$y=0$,得$x_{1}=-2$,$x_{2}=8$.$\therefore$公共点的坐标为$(-2,0)$,$(8,0)$.