《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

4. 如图,点 $ A(2.18,-0.51) $,$ B(2.68,0.54) $ 在二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0) $ 的图象上,则关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 的一个近似根可能是(D)

A.$ 2.18 $
B.$ 2.68 $
C.$ -0.51 $
D.$ 2.45 $

答案： D

例1 已知二次函数 $ y = -x^{2}-2x + 2 $.
(1) 填表,并在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；

(2) 结合函数图象,直接写出方程 $ -x^{2}-2x + 2 = 0 $ 的近似根(指出在哪两个连续整数之间即可).
【点拨】(1) 根据函数表达式可完成表格,再根据表格中 $ x $,$ y $ 的对应值可画函数图象.
(2) 根据二次函数图象与 $ x $ 轴交点的横坐标是相应的一元二次方程的解,可得一元二次方程的近似根.

答案：
【解】
(1) 填表如下：

所画图象如图所示.

(2) 由图象可知,方程 $ -x^{2}-2x + 2 = 0 $ 的两个近似根是在 $ -3 $ 与 $ -2 $ 之间、$ 0 $ 与 $ 1 $ 之间.

例2 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 中 $ x $ 与 $ y $ 的部分对应值如下表：

根据以上信息,完成下列各题.
(1) 当 $ x = 3 $ 时,求 $ y $ 的值；
(2) 试确定当 $ x $ 为何值时,$ y $ 取最值,并求最值；
(3) 若点 $ A(x_{1},y_{1}) $,$ B(x_{2},y_{2}) $ 是该二次函数图象上的两点,且 $ -1 \lt x_{1} \lt 0 $,$ 1 \lt x_{2} \lt 2 $,试比较 $ y_{1} $ 与 $ y_{2} $ 的大小；
(4) 若自变量 $ x $ 的取值范围是 $ 0 \leqslant x \leqslant 5 $,求 $ y $ 的取值范围.
【点拨】(1) 由表中数据列方程组,求得二次函数的表达式,再求出 $ x = 3 $ 时 $ y $ 的值.
(2) 实际上是求二次函数图象的顶点坐标.
(3) 求出二次函数图象与 $ x $ 轴的两个交点坐标. 在对称轴的左侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；在对称轴的右侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大.
(4) 根据二次函数图象可知,当 $ x = 5 $ 时,$ y $ 最大；当 $ x = 1 $ 时,$ y $ 最小.

(1) 设二次函数为$y = ax^2 + bx + c$，由表中数据得：
$\begin{cases} a(-1)^2 + b(-1) + c = -1 \\ c = -\dfrac{7}{4} \\ a(1)^2 + b(1) + c = -2 \end{cases}$
即$\begin{cases} a - b - \dfrac{7}{4} = -1 \\ c = -\dfrac{7}{4} \\ a + b - \dfrac{7}{4} = -2 \end{cases}$，解得$\begin{cases} a = \dfrac{1}{4} \\ b = -\dfrac{1}{2} \\ c = -\dfrac{7}{4} \end{cases}$，
$\therefore y = \dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{1}{2}x - \dfrac{7}{4}$。
当$x = 3$时，$y = \dfrac{1}{4} × 9 - \dfrac{1}{2} × 3 - \dfrac{7}{4} = -1$。
(2) $y = \dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{1}{2}x - \dfrac{7}{4} = \dfrac{1}{4}(x - 1)^2 - 2$，
$\because a = \dfrac{1}{4} ＞ 0$，$\therefore$当$x = 1$时，$y$取最小值，最小值为$-2$。
(3) 二次函数对称轴为$x = 1$，$\because -1 ＜ x_1 ＜ 0$，$\therefore x_1$到对称轴距离为$1 - x_1$，且$1 ＜ 1 - x_1 ＜ 2$；
$\because 1 ＜ x_2 ＜ 2$，$\therefore x_2$到对称轴距离为$x_2 - 1$，且$0 ＜ x_2 - 1 ＜ 1$。
$\because$抛物线开口向上，距离对称轴越远函数值越大，$\therefore y_1 ＞ y_2$。
(4) 当$0 \leq x \leq 5$时，对称轴$x = 1$在区间内，$y_{min} = -2$（$x = 1$时）；
当$x = 5$时，$y = \dfrac{1}{4} × 25 - \dfrac{1}{2} × 5 - \dfrac{7}{4} = 2$，$\therefore y_{max} = 2$。
$\therefore y$的取值范围是$-2 \leq y \leq 2$。

答案：
(1) 设二次函数为$y = ax^2 + bx + c$，由表中数据得：
$\begin{cases} a(-1)^2 + b(-1) + c = -1 \\ c = -\dfrac{7}{4} \\ a(1)^2 + b(1) + c = -2 \end{cases}$
即$\begin{cases} a - b - \dfrac{7}{4} = -1 \\ c = -\dfrac{7}{4} \\ a + b - \dfrac{7}{4} = -2 \end{cases}$，解得$\begin{cases} a = \dfrac{1}{4} \\ b = -\dfrac{1}{2} \\ c = -\dfrac{7}{4} \end{cases}$，
$\therefore y = \dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{1}{2}x - \dfrac{7}{4}$。
当$x = 3$时，$y = \dfrac{1}{4} × 9 - \dfrac{1}{2} × 3 - \dfrac{7}{4} = -1$。
(2) $y = \dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{1}{2}x - \dfrac{7}{4} = \dfrac{1}{4}(x - 1)^2 - 2$，
$\because a = \dfrac{1}{4} ＞ 0$，$\therefore$当$x = 1$时，$y$取最小值，最小值为$-2$。
(3) 二次函数对称轴为$x = 1$，$\because -1 ＜ x_1 ＜ 0$，$\therefore x_1$到对称轴距离为$1 - x_1$，且$1 ＜ 1 - x_1 ＜ 2$；
$\because 1 ＜ x_2 ＜ 2$，$\therefore x_2$到对称轴距离为$x_2 - 1$，且$0 ＜ x_2 - 1 ＜ 1$。
$\because$抛物线开口向上，距离对称轴越远函数值越大，$\therefore y_1 ＞ y_2$。
(4) 当$0 \leq x \leq 5$时，对称轴$x = 1$在区间内，$y_{min} = -2$（$x = 1$时）；
当$x = 5$时，$y = \dfrac{1}{4} × 25 - \dfrac{1}{2} × 5 - \dfrac{7}{4} = 2$，$\therefore y_{max} = 2$。
$\therefore y$的取值范围是$-2 \leq y \leq 2$。